Classe seconda, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Distinguere il piano di taglio dalla figura di sezione.
- Ricavare la forma di una sezione orizzontale di un prisma retto a base rettangolare.
- Controllare quali misure provengono dal testo e quali non sono leggibili dalla figura.
Prima di iniziare
- Prisma retto e rettangolo
- Pianta, prospetto e misura in unità coerenti
L'idea centrale
Una sezione è la figura che nasce dove un piano incontra un solido. Non coincide con tutto il piano infinito né con una qualsiasi faccia esterna del volume. Nel nostro caso il solido è un prisma retto: tutte le sezioni parallele alla base, purché interne fra base e cima, hanno la stessa forma rettangolare della base. Il piano orizzontale posto a 1 cm dalla base produce quindi un rettangolo di lati 6 cm e 4 cm, area 24 cm². L’altezza totale di 3 cm serve a verificare che il taglio cada davvero all’interno; non diventa uno dei lati del rettangolo di sezione. La figura generata mostra visivamente un piano trasparente e una parte superiore sollevata. Questo espediente espositivo rende evidente la superficie tagliata, ma non rappresenta un’operazione materiale svolta sul prisma del testo. Per descrivere la sezione in modo rigoroso occorre dichiarare orientamento del piano, dimensioni e posizione del taglio.
Metti un foglio di carta in mezzo a una scatola trasparente immaginaria. Il foglio si estende oltre la scatola; la zona comune, invece, termina contro le pareti. Chiedi alla classe quale delle due superfici chiamiamo sezione. Poi mostra la figura e fai distinguere tre oggetti: solido, piano di taglio e contorno d’intersezione. Il linguaggio ordinario tende a chiamare 'taglio' tutti e tre, ma il disegno tecnico richiede precisione. Solo dopo questa scelta concettuale introduci le misure del prisma scritto, perché un calcolo esatto su una superficie sbagliata resta una risposta sbagliata.
Un passo in più
La quota del piano si misura dalla base del prisma. Prima di calcolare la sezione verifica che il piano sia interno e parallelo alla base; per un nuovo prisma usa le sue misure.
Testo e dati del caso
Un prisma retto a base rettangolare misura 6 cm in larghezza, 4 cm in profondità e 3 cm in altezza. Un piano orizzontale taglia il suo interno a 1 cm dalla base e incontra le quattro facce laterali. La figura illustrativa non è graduata e non porta alcuna misura.
- Regola e condizioni
- Per una sezione ortogonale semplice, identifica prima il solido e le sue dimensioni, poi il piano e la sua posizione, infine il contorno d’intersezione. Qui 'orizzontale' significa parallelo alla base rettangolare; non significa perpendicolare al pavimento. Una vista dall’alto del rettangolo di sezione restituisce la vera forma, se la rappresentazione rispetta la scala e non è una semplice immagine prospettica. In un prospetto laterale, lo stesso piano appare come una linea a quota 1 cm rispetto alla base. Queste due viste rappresentano lo stesso taglio in modi diversi. Se il piano fosse verticale, la forma e i lati andrebbero ricalcolati: non basta conservare per inerzia 6 × 4. Se il piano passasse esattamente sulla faccia di base, avremmo un caso limite diverso dal taglio interno dichiarato. La precisione delle condizioni impedisce risposte apparentemente plausibili ma incompatibili con il caso.
Passo per passo
- Disegna idealmente pianta e prospetto del prisma. Nella pianta annota i lati di base 6 e 4 cm; nel prospetto annota l’altezza 3 cm. Non trasferire una misura da una vista all’altra senza identificare quale direzione rappresenta.
- Marca nel prospetto il piano orizzontale a 1 cm dalla base. Verifica 0 < 1 < 3: il piano attraversa l’interno e incontra tutte e quattro le facce laterali, senza dover indovinare il taglio dalla prospettiva del raster.
- Guarda la sezione sul piano: il contorno è un rettangolo parallelo alla base. Calcola i suoi lati e l’area 6 × 4 = 24 cm²; controlla infine che i centimetri lineari e quadrati siano usati nei posti corretti.
Esempio svolto
Un secondo prisma retto ha base 5 cm × 2 cm e altezza 4 cm. Un piano parallelo alla base passa a 3 cm da essa. Quale forma e area ha la sezione?
- Controllo che il piano sia interno: 3 cm è maggiore di zero e minore dell’altezza 4 cm. La descrizione esclude un taglio fuori dal solido.
- Poiché il piano è parallelo alla base di un prisma retto, il contorno d’intersezione mantiene i lati 5 cm e 2 cm e quindi è rettangolare.
- Calcolo l’area del rettangolo: 5 × 2 = 10 cm². La quota 3 cm localizza il taglio, ma non entra nel prodotto dell’area.
- Controllo: La risposta distingue quota, lati della sezione e unità quadrata.
Rettangolo di lati 5 cm e 2 cm; area 10 cm².
Errore da evitare
Un errore è moltiplicare 6 × 3 perché nell’immagine il bordo anteriore sembra alto: così si confonde la faccia verticale con il taglio orizzontale. Un altro è chiamare 'sezione' l’intero rettangolo trasparente che sporge fuori dal solido. La sezione è solo la parte del piano compresa nel volume. Infine, l’area è espressa in centimetri quadrati; un risultato '24 cm' segnala che il calcolo non è stato interpretato geometricamente.
Per approfondire e verificare
- Variando la quota del piano da 1 a 2 cm, la forma della sezione del prisma retto resta uguale: la costanza è una proprietà di questo solido e dell’orientamento parallelo scelto. Non vale per un cono o una piramide, nei quali la dimensione della sezione cambia allontanandosi dalla base, né per ogni taglio obliquo dello stesso prisma. Questa comparazione aiuta a non scambiare una regola condizionata per una definizione universale. In disegno tecnico una linea di sezione nelle viste indica dove si immagina il taglio; un eventuale tratteggio evidenzia materiale attraversato. Qui non usiamo il tratteggio come dato quantitativo. La riproduzione esatta richiederebbe proiezioni ortogonali coerenti, quote e una scala esplicita: l’illustrazione serve a capire la relazione spaziale, non a prendere misure con un righello sullo schermo.
- Il rettangolo trasparente che sporge rappresenta il piano di taglio; la sezione comprende soltanto la parte interna al prisma. Le misure necessarie al calcolo sono nel testo, non sui bordi della figura.
- Verifica il tuo procedimento con tre domande. Qual è la forma della base? Il piano è parallelo a quella base? La quota è interna all’altezza del solido? Se rispondi sì a tutte, puoi trasferire i lati della base alla sezione del prisma retto. Se una condizione cambia, ricomincia dal modello geometrico invece di copiare 24 cm². La figura rende intuitivo l’atto del tagliare, il testo fornisce i numeri e la proiezione ortogonale organizza la verifica. Una risposta matura nomina la provenienza di ogni informazione. In particolare, non dichiara di avere misurato 6 cm nell’immagine non graduata.
Prova subito
Un prisma retto diverso ha base 7 cm × 3 cm, altezza 5 cm e piano parallelo alla base a 2 cm da essa. Qual è l’area della sezione?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 21 cm².
La sezione interna è congruente alla base: 7 × 3 = 21 cm².
Risposta: 21 cm².
La sezione interna è congruente alla base: 7 × 3 = 21 cm².
In un prisma retto di base quadrata 4 cm × 4 cm, un taglio interno parallelo alla base quale forma produce?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Un quadrato di lato 4 cm.
Il piano conserva il contorno della base quadrata.
Risposta: Un quadrato di lato 4 cm.
Il piano conserva il contorno della base quadrata.
Un prisma alto 3 cm è tagliato da un piano orizzontale a 4 cm dalla base. Il piano attraversa l’interno?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No.
La quota 4 cm supera l’altezza 3 cm.
Risposta: No.
La quota 4 cm supera l’altezza 3 cm.
Una sezione rettangolare misura 8 cm per 2 cm. Scrivi area e unità corretta.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 16 cm².
Il prodotto di due lunghezze ha unità quadrata.
Risposta: 16 cm².
Il prodotto di due lunghezze ha unità quadrata.
La figura non è graduata. Puoi leggere da essa se il piano passa a 1 o 1,5 cm dalla base?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No: serve una quota scritta.
La posizione qualitativa non fissa una misura precisa.
Risposta: No: serve una quota scritta.
La posizione qualitativa non fissa una misura precisa.
Allineamento curricolare e fonti
- DISEGNO E STORIA DELL'ARTE / OBIETTIVI SPECIFICI / PRIMO BIENNIO · righe 1750–1797 · Rappresentare un solido geometrico semplice mediante proiezioni ortogonali e sezione. La distribuzione nell'anno è editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
Continua lungo questo corridoio
Esercitarsi su questo: Sezioni ortogonali: che cosa mostra un piano di taglio