Classe prima, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Arrotondare una misura con coerenza rispetto alla risoluzione dichiarata.
Prima di iniziare
- Lettura di una fonte
- Descrizione di una figura
Misurare non equivale a leggere un numero infinito
Una misura nasce da uno strumento, da una procedura e da una decisione su dove collocare il riferimento. La cifra finale scritta comunica una precisione: non dovrebbe apparire solo perché la calcolatrice dispone di molte posizioni. Se una lunghezza è letta con un righello graduato al millimetro, la scrittura 12,4 cm suggerisce una lettura al millimetro; 12,400000 cm suggerirebbe dettagli che quella procedura non ha prodotto. Le cifre significative servono a conservare l'informazione della misura mentre si cambia unità o si calcola una grandezza derivata. Non sostituiscono la valutazione degli errori. Una scala fitta non corregge da sola una tacca consumata, un righello inclinato o una lettura fatta da una posizione obliqua. Per questo bisogna dichiarare almeno quale oggetto è stato misurato, con quale strumento e in quale unità. L'illustrazione della lezione è un righello generico senza graduazione affidabile: i numeri degli esercizi provengono dagli enunciati, non da una misura dei suoi pixel.
Quali zeri contano
Le cifre diverse da zero sono significative. Gli zeri fra cifre diverse da zero lo sono anch'essi: in 2,03 le tre posizioni comunicano una misura fino al centesimo dell'unità scelta. Gli zeri iniziali, invece, collocano la virgola e non aumentano la precisione dichiarata: 0,0042 m ha due cifre significative, 4 e 2. Uno zero finale dopo la virgola può comunicare una posizione misurata: 0,00420 m ha tre cifre significative e corrisponde a 4,20 mm. Se una misura è scritta 1500 m senza altre informazioni, il numero di zeri significativi può essere ambiguo; la notazione scientifica permette di chiarire: 1,5·10³ m comunica due cifre, 1,500·10³ m quattro. Questa convenzione richiede comunque un dato sperimentale che giustifichi la scelta. Aggiungere zeri per rendere il numero più elegante non rende l'osservazione più precisa.
Arrotondare con criterio
Per arrotondare a un numero fissato di cifre, si individuano le posizioni da conservare e si guarda la prima esclusa. Se è maggiore di 5, la precedente cresce; se è minore di 5, resta. Nel caso esattamente a metà occorre fissare una convenzione coerente: in questa lezione usiamo la regola scolastica di aumentare la cifra conservata quando la prima esclusa è 5. Così 7,245 cm a tre cifre diventa 7,25 cm. Per 7,241 cm il risultato sarebbe 7,24 cm. Una cifra 9 può produrre un riporto: 9,98 m a due cifre significative si scrive 10 m, ma questa forma può nascondere il numero di cifre; 1,0·10¹ m lo esplicita. Troncare significa tagliare le cifre finali senza tener conto della prima esclusa, e può spostare il risultato in modo sistematico. L'arrotondamento va fatto alla fine del calcolo, mantenendo qualche cifra di guardia nei passaggi intermedi.
Risoluzione, ripetizione e incertezza
La risoluzione è il più piccolo passo distinguibile sulla scala o sul display, mentre la dispersione descrive quanto variano letture ripetute nelle stesse condizioni. Se un sensore mostra centesimi di grado, ma ripetizioni dello stesso campione oscillano di diversi decimi, il display non autorizza automaticamente a presentare il centesimo come stabile. Se più studenti leggono una scala analogica da angoli diversi, la differenza può essere dovuta alla parallasse. Prima di scegliere l'ultima cifra del risultato conviene confrontare risoluzione, ripetibilità e procedura. Un valore centrale può essere accompagnato da una stima dell'incertezza quando il corso ha introdotto questo linguaggio; non bisogna inventare un margine numerico senza dati. Le cifre significative sono quindi una regola di comunicazione utile, ma non una prova completa dell'affidabilità di un esperimento. Due misure con le stesse cifre possono avere qualità molto diversa se cambiano taratura o metodo.
Calcoli con dati misurati
Nei prodotti e nei quozienti una regola didattica comune è non presentare il risultato con più cifre significative del dato meno preciso, dopo aver eseguito il calcolo con cifre di guardia. Se un rettangolo ha lati 2,4 cm e 3,15 cm, il prodotto grezzo è 7,56 cm²; il dato 2,4 ha due cifre significative, quindi si comunica 7,6 cm² secondo questa regola. Nelle somme e differenze si guarda invece la posizione decimale meno precisa. Se 12,4 cm e 0,36 cm sono stati misurati come scritti, la somma grezza 12,76 cm si comunica a un decimo: 12,8 cm. Non si applica ciecamente il numero minimo di cifre significative a una somma. In entrambi i casi, le cifre del calcolo non sostituiscono la verifica fisica: area e lunghezza sono grandezze diverse, e l'unità del risultato va trattata insieme al numero.
Un esempio che combina le due regole
Una lastra rettangolare è lunga 4,26 cm e larga 2,1 cm. Il prodotto non arrotondato è 8,946 cm²; il lato da 2,1 cm ha due cifre significative, perciò l'area comunicata è 8,9 cm². Se due tratti lungo un bordo sono 4,26 cm e 2,1 cm, la loro somma non segue la regola del prodotto: 6,36 cm viene espressa al decimo, cioè 6,4 cm. La differenza non nasce da un capriccio tipografico. Nel prodotto l'incertezza relativa dei fattori influisce sul risultato; nella somma conta la posizione assoluta alla quale i dati sono risolti. Questa è una regola di primo approccio, non un calcolo formale di propagazione dell'incertezza. Per controllare la risposta, si devono leggere insieme operazione, dati, unità e precisione dichiarata. Se il risultato riportasse 8,94600 cm², sarebbero state aggiunte cifre che il lato meno preciso non sostiene. Se uno dei fattori è un numero esatto per definizione, come il numero di lati uguali contati in una figura, non lo si tratta come una misura con precisione limitata. In un problema bisogna quindi distinguere le quantità misurate da quelle contate o definite esattamente prima di decidere quale dato limita le cifre del risultato.
Esempio ragionato
Arrotonda 12,46 cm a tre cifre significative.
- Le prime tre cifre da conservare in 12,46 sono 1, 2 e 4.
- La cifra esclusa 6 fa salire il 4 a 5.
- Scrivo 12,5 cm con tre cifre significative e unità.
Le prime tre cifre sono 1, 2 e 4; la successiva è 6, quindi il 4 sale a 5. Il risultato è 12,5 cm.
Errore da evitare
Scrivere tutte le cifre prodotte dalla calcolatrice come se fossero misurate.
Fonte e sequenza
- Il DM 211/2010 indica il primo biennio; la collocazione in questa classe è editoriale.
- Invita a discutere risoluzione e lettura; non permette di misurare il blocco.
Prova subito
Un cilindro ha diametro misurato 3,4 cm e altezza 8,25 cm. Senza calcolare il volume, indica quale dato limiterà le cifre significative di un prodotto che usa entrambe le misure e spiega perché una costante geometrica esatta non abbassa quel limite.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Il diametro 3,4 cm, con due cifre significative; una costante esatta non aggiunge incertezza di misura.
8,25 cm ha tre cifre. Nella regola introduttiva per prodotti di dati misurati governa il dato meno preciso; un fattore matematico esatto non è una lettura strumentale.
Risposta: Il diametro 3,4 cm, con due cifre significative; una costante esatta non aggiunge incertezza di misura.
8,25 cm ha tre cifre. Nella regola introduttiva per prodotti di dati misurati governa il dato meno preciso; un fattore matematico esatto non è una lettura strumentale.
Somma due lunghezze misurate: 16,72 cm e 0,4 cm. Calcola prima il valore grezzo, poi comunicalo alla posizione decimale coerente. Perché contare semplicemente le cifre significative darebbe una regola inadatta?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 17,12 cm grezzi, comunicati come 17,1 cm; nelle somme conta il decimale meno preciso, qui i decimi.
16,72+0,4=17,12. Il secondo dato non specifica centesimi; la regola di prodotti e quozienti non si trasferisce alla somma.
Risposta: 17,12 cm grezzi, comunicati come 17,1 cm; nelle somme conta il decimale meno preciso, qui i decimi.
16,72+0,4=17,12. Il secondo dato non specifica centesimi; la regola di prodotti e quozienti non si trasferisce alla somma.
Una misura è scritta 0,00630 m. Converti in millimetri senza alterare la precisione comunicata e spiega il ruolo dello zero finale.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 6,30 mm; lo zero finale è significativo e indica la terza cifra della misura.
0,00630 m·1000=6,30 mm. Gli zeri prima del 6 localizzano la virgola, quello dopo il 3 conserva informazione.
Risposta: 6,30 mm; lo zero finale è significativo e indica la terza cifra della misura.
0,00630 m·1000=6,30 mm. Gli zeri prima del 6 localizzano la virgola, quello dopo il 3 conserva informazione.
Per due lati misurati 5,6 cm e 2,35 cm calcola l'area del rettangolo, conserva il prodotto grezzo e comunica il risultato secondo la regola per prodotti.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 13,16 cm² grezzi; 13 cm² con due cifre significative.
5,6·2,35=13,16. Il primo lato ha due cifre significative, quindi 13 cm² è la comunicazione coerente con la regola introduttiva.
Risposta: 13,16 cm² grezzi; 13 cm² con due cifre significative.
5,6·2,35=13,16. Il primo lato ha due cifre significative, quindi 13 cm² è la comunicazione coerente con la regola introduttiva.
Un sensore mostra 21,47 °C, 21,82 °C e 21,39 °C in tre ripetizioni sullo stesso campione. Un compagno afferma che il centesimo è stabile perché compare sul display. Valuta l'affermazione senza inventare un'incertezza numerica.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Non è giustificata: le letture variano di diversi decimi, quindi la risoluzione del display non prova la stabilità al centesimo.
La dispersione osservata è molto maggiore di 0,01 °C. Servono analisi della procedura e delle ripetizioni prima di dichiarare una precisione del risultato.
Risposta: Non è giustificata: le letture variano di diversi decimi, quindi la risoluzione del display non prova la stabilità al centesimo.
La dispersione osservata è molto maggiore di 0,01 °C. Servono analisi della procedura e delle ripetizioni prima di dichiarare una precisione del risultato.
Allineamento curricolare e fonti
- Allegato F, primo biennio, righe HTML 1352–1361; collocazione annuale editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Cifre significative: dichiarare la precisione