Classe prima, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Associare misura, unità e dimensione e rifiutare somme fra grandezze incompatibili.
Prima di iniziare
- Lettura di una fonte
- Descrizione di una figura
Che cosa si misura davvero
Dire «il tavolo è lungo 4» non è una misura: manca l'unità, e non è chiaro neppure se il numero rappresenti lunghezza, area o il numero dei tavoli. Una grandezza fisica è una proprietà per la quale possiamo stabilire una procedura di confronto e una convenzione di misura. Misurare una lunghezza significa confrontarla con una lunghezza campione; misurare una durata richiede scegliere due eventi e confrontare il loro intervallo con un'unità di tempo. La procedura conta quanto il numero: due studenti possono leggere lo stesso oggetto e ottenere dati diversi se uno misura il lato e l'altro la diagonale. Per questo una relazione scientifica precisa oggetto, grandezza, strumento, valore e unità. Una misura sperimentale porta inoltre una risoluzione: un righello diviso in millimetri non giustifica una lunghezza comunicata con molte cifre decimali arbitrarie. La figura della lezione raffigura strumenti diversi ma non dà letture numeriche attendibili; non bisogna inventarle osservando i pixel.
Valore, unità e dimensione
L'unità è la quantità campione scelta per esprimere una grandezza; la dimensione descrive invece il tipo di grandezza. Un tratto di 2 m e uno di 200 cm hanno lo stesso valore fisico dopo conversione e la stessa dimensione di lunghezza, indicata qui con L. Un intervallo di 2 s ha un numero uguale ma dimensione T: sommarlo a 2 m non produce una grandezza interpretabile. La massa ha dimensione M. Da queste tre dimensioni si formano grandezze derivate: un'area ha L², un volume L³, una velocità L/T e una densità M/L³. Le lettere dimensionali non sono unità: m e cm sono entrambe unità di lunghezza; L è il controllo astratto che permette di confrontare la struttura di formule scritte con unità differenti. Dire che una velocità è «5» omette un'informazione essenziale, mentre 5 m/s e 5 km/h descrivono velocità molto diverse. Prima di operare si convertono unità omogenee. Per esempio, 2 m + 30 cm diventa 2 m + 0,30 m = 2,30 m; l'operazione è ammessa perché entrambi gli addendi sono lunghezze e perché sono stati portati alla stessa unità.
Controllare un'espressione prima di calcolare
L'analisi dimensionale è un filtro potente. Se s indica uno spostamento, v una velocità e t un intervallo, il prodotto v·t ha dimensione (L/T)·T = L: la relazione s = v·t supera il controllo delle dimensioni. La forma s = v/t non lo supera, perché (L/T)/T = L/T². Anche i due membri di un'uguaglianza devono avere la stessa dimensione. In un'espressione come s = s₀ + v·t, s₀ e v·t sono entrambi lunghezze, quindi la somma ha senso; in s = s₀ + v, la somma mette insieme una lunghezza e una velocità e segnala un errore prima ancora di sostituire numeri. Questa prova resta necessaria ma non sufficiente. Si può scrivere s = 2v·t con dimensioni impeccabili e un coefficiente 2 ingiustificato per il fenomeno. Si può anche usare s = v·t in un moto non uniforme e ottenere un risultato falso se v è la velocità di un solo istante. Le dimensioni eliminano formule impossibili; le ipotesi del modello e i dati sperimentali stabiliscono se una formula dimensionalmente corretta sia adatta al caso.
Modello risolto: due tratti
Un carrello percorre 18 m in 3 s e poi 12 m in 5 s lungo la stessa direzione. Si chiede la velocità media sull'intero percorso, non la velocità di ciascun tratto. La distanza totale è 18 m + 12 m = 30 m; il tempo totale è 3 s + 5 s = 8 s. Il rapporto fra i totali è 30 m / 8 s = 3,75 m/s. Calcolare prima 18/3 = 6 m/s e 12/5 = 2,4 m/s e poi fare la media aritmetica semplice darebbe 4,2 m/s, un valore errato: i due tratti durano tempi diversi. La media corretta pesa implicitamente ciascuna velocità con il tempo corrispondente. Il controllo dimensionale conferma L/T; un controllo numerico conferma che 3,75 m/s si trova fra 2,4 e 6 m/s. Non si può dedurre da questi due dati la velocità in ogni istante, né affermare che il moto fosse uniforme in ciascun tratto. Un problema diverso, nel quale il carrello percorresse 18 m e 12 m in direzioni opposte, chiederebbe di distinguere distanza percorsa e spostamento: il testo dovrebbe dirlo prima di calcolare.
Come scegliere il controllo utile
Quando un risultato sembra strano, conviene chiedere quale tipo di errore è plausibile. Se si sono sommati metri e secondi, basta il controllo dimensionale. Se si sono sommati 2 m e 30 cm come 32 m, la dimensione è giusta ma le unità non sono state convertite: serve un controllo di unità e ordine di grandezza. Se due formule producono entrambe m/s, la dimensione non decide fra loro; bisogna tornare alla definizione della grandezza, alla procedura di misura e alle ipotesi. Se un disegno non contiene scala leggibile, la decisione corretta è non estrarre da esso una cifra, anche quando la formula è nota. Questo metodo evita di trattare la fisica come sostituzione automatica di numeri: prima si definisce la domanda, poi si selezionano i dati pertinenti, si scrive la relazione con unità e infine si controlla che la risposta abbia significato nel contesto.
Confine e verifica
Una formula con dimensioni coerenti può ancora descrivere male il mondo. Si pensi a una velocità media di 3,75 m/s: la cifra non dice se il carrello accelerava, si fermava o procedeva a velocità costante. Occorrono osservazioni più fini per rispondere. Viceversa una formula che somma L e T è già da respingere, indipendentemente dalla precisione degli strumenti. Per verificare un esercizio, scrivi accanto a ogni dato la grandezza e l'unità, converti prima di sommare, controlla la dimensione di ogni termine dell'equazione e confronta il risultato con i limiti intuitivi del caso. In una tabella di misure, conserva anche la provenienza dei valori e la risoluzione dichiarata: il numero di cifre riportate non può essere scelto solo per far apparire la risposta più precisa. La lezione successiva sulle cifre significative renderà esplicito come comunicare tale precisione, senza confondere la bontà del modello con il numero di decimali stampati.
Esempio ragionato
Un corpo percorre 12 m in 3 s: quanto vale la velocità media scalare in quell'intervallo?
- Identifico 12 m come spazio e 3 s come intervallo.
- Calcolo v=12/3=4 m/s.
- L/T verifica l'unità; i dati non dimostrano velocità costante durante l'intervallo.
v=s/t=12 m/3 s=4 m/s. La dimensione L/T conferma l'unità; questi dati non provano un moto uniforme.
Errore da evitare
Sommare metri e secondi o presentare un numero nudo come misura completa.
Fonte e sequenza
- Il DM 211/2010 indica il primo biennio; la collocazione in questa classe è editoriale.
- Ricorda che strumenti diversi misurano grandezze diverse; non offre letture numeriche.
Prova subito
Un carrello percorre 24 m in 4 s e altri 16 m in 6 s, sempre nella stessa direzione. Qual è la velocità media dell'intero percorso? Indica perché la media semplice delle due velocità di tratto non è il metodo giusto.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 4 m/s; si dividono 40 m per 10 s, perché i due tratti durano tempi diversi.
24+16=40 m e 4+6=10 s; 40/10=4 m/s. La media semplice di 6 e 16/6 m/s darebbe un peso uguale a tempi disuguali.
Risposta: 4 m/s; si dividono 40 m per 10 s, perché i due tratti durano tempi diversi.
24+16=40 m e 4+6=10 s; 40/10=4 m/s. La media semplice di 6 e 16/6 m/s darebbe un peso uguale a tempi disuguali.
Uno studente scrive 2 m + 45 cm = 47 m e poi propone di aggiungere 3 s. Correggi il primo passaggio e individua quale controllo respinge il secondo.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 2 m + 45 cm = 2,45 m; non si aggiungono 3 s perché lunghezza e tempo hanno dimensioni diverse.
45 cm sono 0,45 m. Il primo errore riguarda le unità; il secondo le dimensioni L e T.
Risposta: 2 m + 45 cm = 2,45 m; non si aggiungono 3 s perché lunghezza e tempo hanno dimensioni diverse.
45 cm sono 0,45 m. Il primo errore riguarda le unità; il secondo le dimensioni L e T.
Per s = s₀ + v·t, usa s₀ = 7 m, v = 3 m/s e t = 5 s. Calcola s e spiega perché s₀ + v/t non può sostituire la formula data.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: s = 22 m; v/t ha dimensione L/T² e non si può sommare a s₀, che ha dimensione L.
3 m/s × 5 s = 15 m; 7+15=22 m. Il controllo dimensionale elimina la formula alternativa.
Risposta: s = 22 m; v/t ha dimensione L/T² e non si può sommare a s₀, che ha dimensione L.
3 m/s × 5 s = 15 m; 7+15=22 m. Il controllo dimensionale elimina la formula alternativa.
Un ciclista viaggia a 36 km/h. Esprimi questa velocità in m/s usando esplicitamente le conversioni di distanza e tempo.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 10 m/s.
36 km/h = 36·1000 m / 3600 s = 10 m/s. Convertire solo i chilometri darebbe un ordine di grandezza impossibile.
Risposta: 10 m/s.
36 km/h = 36·1000 m / 3600 s = 10 m/s. Convertire solo i chilometri darebbe un ordine di grandezza impossibile.
Due formule candidate per la densità sono ρ = m/V e ρ = m·V. Se ρ deve avere dimensione M/L³, quale formula supera il controllo? Questo basta a provarla sperimentalmente?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: ρ = m/V; il controllo dimensionale è necessario ma da solo non prova il modello.
m/V ha M/L³, mentre m·V ha M·L³. La formula coerente richiede anche definizione operativa e dati.
Risposta: ρ = m/V; il controllo dimensionale è necessario ma da solo non prova il modello.
m/V ha M/L³, mentre m·V ha M·L³. La formula coerente richiede anche definizione operativa e dati.
Allineamento curricolare e fonti
- Allegato F, primo biennio, righe HTML 1352–1361; collocazione annuale editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Grandezze fisiche e dimensioni: prima del numero