Keplero: orbita, aree e periodo

Regola

T²/a³ è costante per orbite attorno allo stesso centro nel modello appropriato. Se a raddoppia, T² cresce di otto volte e T di √8; non confondere semiasse con distanza istantanea.

Approfondimento e limiti del modello

La prima legge descrive la forma dell'orbita e colloca il Sole in un fuoco, non nel centro dell'ellisse in generale. La seconda riguarda le aree spazzate dal segmento pianeta-Sole in intervalli di tempo uguali: la velocità lungo l'orbita non è costante. La terza confronta periodi e semiassi maggiori di orbite intorno allo stesso centro dominante.

Per due orbite dello stesso sistema, T₂/T₁=(a₂/a₁)^(3/2). Il semiasse a è una caratteristica dell'intera ellisse, non la distanza dal Sole in un istante. Se a₂/a₁=9, il periodo relativo è 27, perché 9^(3/2)=√(9³). Non trasferire senza condizioni la stessa costante T²/a³ a sistemi con centri dominanti diversi.

Geometria delle orbite

La prima legge di Keplero descrive l'orbita di un pianeta come un'ellisse con il Sole in uno dei fuochi, non al centro geometrico dell'ellisse. La distanza Sole–pianeta varia lungo l'orbita; il punto più vicino è il perielio, quello più lontano l'afelio. Un cerchio è un caso particolare di ellisse, ma un disegno quasi circolare non autorizza a collocare il Sole ovunque. Per leggere un diagramma bisogna distinguere il semiasse maggiore a dalla distanza istantanea r. Il primo è una proprietà della geometria orbitale; la seconda cambia mentre il pianeta si muove. Nessuno dei due può essere misurato con certezza dalla sola lunghezza in pixel se la figura è schematica e priva di scala. Le leggi nacquero come descrizioni empiriche dei moti, poi ricevute entro la dinamica gravitazionale.

Aree e velocità

La seconda legge dice che il segmento che unisce il Sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Questo non significa percorrere archi uguali nello stesso tempo: vicino al perielio, dove r è minore, il pianeta si muove più rapidamente lungo l'orbita; vicino all'afelio più lentamente. Per un intervallo molto breve, l'area spazzata dipende approssimativamente da metà del prodotto fra r, spostamento trasversale e angolo adatto, non dalla sola lunghezza dell'arco. La legge riflette la conservazione del momento angolare nel modello di una forza centrale. Se un diagramma mostra settori uguali in area, una figura stretta e allungata vicino al Sole può corrispondere allo stesso tempo di una più ampia e corta lontano dal Sole. Confondere area con angolo centrale porta a una lettura sbagliata.

Periodi, semiassi e campo di validità

La terza legge confronta corpi che orbitano attorno allo stesso centro gravitazionale dominante: T²/a³ è costante nel modello kepleriano. T è il periodo completo e a il semiasse maggiore, non la distanza dalla stella in un singolo istante. Se a raddoppia, T non raddoppia: T₂/T₁=2^(3/2), circa 2,83. Prima di confrontare periodi verifica che i corpi appartengano allo stesso sistema centrale e che le unità di T e a siano coerenti. Per sistemi con masse non trascurabili rispetto al centro la forma esatta coinvolge la massa totale; in un corso introduttivo si esplicita l'approssimazione. Una legge descrittiva non consente di dedurre da una singola posizione la traiettoria futura completa senza condizioni iniziali e parametri dinamici. È utile per stimare relazioni, non per leggere un periodo da un'immagine.