10.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Usar conceitos de «Pontuar preferências com método de Borda» num caso e justificar a conclusão.
Compreender
O método de Borda converte ordens de preferência em pontos. Com três alternativas e a convenção dois, um e zero, a primeira posição recebe dois pontos, a segunda um e a terceira nenhum. Somam-se os pontos de cada alternativa em todos os boletins.
As preferências A-B-C, B-C-A e B-A-C atribuem a B, respetivamente, um, dois e dois pontos. Portanto B soma cinco. A soma de A é dois mais zero mais um, igual a três; C soma zero mais um mais zero, igual a um. B tem a pontuação maior. Com três alternativas, atribua dois pontos ao primeiro lugar, um ao segundo e zero ao terceiro. Nos boletins A-B-C, B-C-A e B-A-C, A soma 2+0+1=3; B soma 1+2+2=5; C soma 0+1+0=1. B vence pelo critério de Borda neste exemplo. Não conte apenas primeiras preferências, pois isso descartaria informação dos lugares seguintes. Uma mudança na pontuação ou no número de alternativas pode alterar resultados. Se houver empate, é necessária regra previamente definida; não se escolhe vencedor por preferência do analista após contar.
Contar apenas primeiras posições produziria uma regra diferente. Também é preciso declarar se há empates, pesos distintos ou outra escala de pontos. O método agrega preferências registadas; não revela a intensidade com que cada eleitor prefere uma alternativa.
Exemplo resolvido
A figura apresenta outro escrutínio. Neste, quatro votantes ordenam A>C>B duas vezes, B>A>C uma e C>B>A uma. Com 2/1/0 pontos por posição, quem vence?
- Cada boletim distribui 2+1+0=3 pontos, num total esperado de 4×3=12.
- A soma de A é 2×2+1+0=5; de B é 2×0+2+1=3; de C é 2×1+0+2=4.
- Os totais 5+3+4=12 confirmam a contagem. A maior pontuação é 5.
A vence este escrutínio de Borda com 5 pontos, contra 4 de C e 3 de B.
Atenção ao erro
Vence automaticamente quem aparece uma vez em primeiro
Verifica agora
Três boletins novos ordenam A-B-C, C-A-B e B-C-A. Com pontos 2, 1, 0, calcula a pontuação de cada candidato.
Ver solução explicada
Resposta: A obtém 2+1+0=3, B obtém 1+0+2=3 e C obtém 0+2+1=3; há empate.
Mostra os dados e cálculo: A obtém 2+1+0=3, B obtém 1+0+2=3 e C obtém 0+2+1=3; há empate.
Acrescenta aos três boletins empatados um voto B-A-C. Quem passa a vencer?
Ver solução explicada
Resposta: O novo voto dá B mais dois, A mais um e C zero: os totais passam a B=5, A=4, C=3.
Explica o resultado: O novo voto dá B mais dois, A mais um e C zero: os totais passam a B=5, A=4, C=3.
Retoma o caso da explicação: Corrige esta leitura do caso: «Vence automaticamente quem aparece uma vez em primeiro». Que relação foi confundida?
Ver solução explicada
Resposta: A leitura é injustificada. B vence neste pequeno exemplo segundo as pontuações declaradas. Outras convenções de pontos precisam de ser explicitadas.
Refuta a afirmação com uma razão ligada ao caso e apresenta alternativa correta.
Que cautela é necessária ao estudar outro caso de «Pontuar preferências com método de Borda»?
Ver solução explicada
Resposta: Outras convenções de pontos precisam de ser explicitadas.
Indica limite pertinente à evidência, sem prometer generalização indevida.
Alinhamento curricular e fontes
- Calcular pontuação de Borda para boletins de preferência, página 14. Objetivo oficial parafraseado: Calcular pontuação de Borda para boletins de preferência. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-aplicada-ciencias-sociais · 10-ano