11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Usar conceitos de «Percorrer arestas sem repetir» num caso e justificar a conclusão.
Compreender
Um caminho euleriano percorre cada aresta exatamente uma vez. Num grafo conexo quanto às arestas, pode começar e terminar em vértices distintos quando há exatamente dois vértices de grau ímpar. Os graus contam quantas arestas incidem em cada vértice.
Na rede criada, identificamos os dois vértices ímpares e usamos um como partida e outro como chegada. Os demais têm grau par: cada entrada numa parte intermédia pode ser emparelhada com uma saída. Isso justifica a existência de um percurso aberto pelas arestas. Na rede do desenho, os vértices amarelos têm grau três e os azuis grau dois. Há cinco arestas: os quatro lados do quadrado e uma diagonal. Uma rota possível parte do amarelo superior esquerdo, segue pelos lados superior, direito, inferior e esquerdo, regressa ao primeiro vértice e usa a diagonal para chegar ao amarelo inferior direito. Cada aresta aparece uma vez; a repetição intermédia de um vértice é permitida. Se houvesse quatro vértices ímpares, não existiria caminho euleriano aberto sem repetir arestas. Um circuito fechado é caso diferente e exige todos os graus pares numa componente conexa.
Um circuito euleriano regressa ao início e requer todos os graus pares na componente relevante. Ter dois vértices ímpares não basta se as arestas estiverem em componentes desconexas. É preciso confirmar ligações e tratar vértices isolados corretamente.
Exemplo resolvido
Uma rede ligada tem arestas AB, BC, CD, DA e AC. É possível percorrer as cinco arestas exatamente uma vez? Dá um percurso e distingue os extremos.
- Contamos graus: A tem 3 ligações, B tem 2, C tem 3 e D tem 2; há exatamente dois vértices ímpares, A e C.
- Numa rede conexa com exatamente dois vértices de grau ímpar pode existir um caminho euleriano aberto entre eles.
- Experimentamos A–B–C–D–A–C: usa AB, BC, CD, DA e AC uma única vez, começando em A e terminando em C.
Sim. A–B–C–D–A–C é um percurso euleriano aberto de A para C nesta rede.
Atenção ao erro
Qualquer rede com dois vértices ímpares tem circuito fechado de Euler
Verifica agora
Uma rede conexa tem quatro vértices de grau ímpar. Pode ter caminho euleriano aberto sem repetir arestas?
Ver solução explicada
Resposta: Não. Um grafo conexo com quatro vértices ímpares não admite caminho euleriano que use cada aresta uma vez.
Mostra os dados e cálculo: Não. Um grafo conexo com quatro vértices ímpares não admite caminho euleriano que use cada aresta uma vez.
Que alteração na paridade tornaria possível uma rota euleriana aberta nessa rede conexa?
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Resposta: Seria necessário ficar com exatamente dois vértices de grau ímpar; a conectividade também deve manter-se.
Explica o resultado: Seria necessário ficar com exatamente dois vértices de grau ímpar; a conectividade também deve manter-se.
Corrige esta leitura do caso: «Qualquer rede com dois vértices ímpares tem circuito fechado de Euler». Que relação foi confundida?
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Resposta: A leitura é injustificada. É possível um percurso que percorra cada aresta uma vez e termine noutro vértice. A conectividade das arestas relevantes deve ser confirmada.
Refuta a afirmação com uma razão ligada ao caso e apresenta alternativa correta.
Que cautela é necessária ao estudar outro caso de «Percorrer arestas sem repetir»?
Ver solução explicada
Resposta: A conectividade das arestas relevantes deve ser confirmada.
Indica limite pertinente à evidência, sem prometer generalização indevida.
Alinhamento curricular e fontes
- Identificar condições de existência de caminho euleriano, página 14. Objetivo oficial parafraseado: Identificar condições de existência de caminho euleriano. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-aplicada-ciencias-sociais · 11-ano