11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Usar conceitos de «Representar uma rede por grafo» num caso e justificar a conclusão.
Compreender
Um grafo representa relações por vértices e arestas. Vértices podem ser locais; arestas, caminhos entre eles. Dois vértices são adjacentes se uma aresta os liga diretamente. A representação conserva a estrutura de ligações e deixa de fora características que não foram codificadas.
No mapa com quatro locais A, B, C e D e cinco caminhos, desenhamos quatro pontos e cinco ligações. Antes de responder se A e C são adjacentes, verificamos se existe aresta direta entre eles; não basta haver um percurso passando por B. Represente os quatro locais A, B, C e D por pontos e cada um dos cinco caminhos por uma linha entre os pontos certos. Uma linha que cruza outra sem ponto assinalado não cria automaticamente novo vértice. Conte grau de cada local pelo número de arestas incidentes e verifique que a soma dos graus é dez, duas vezes as cinco arestas. Esse controlo detecta omissões no desenho. O grafo conserva relações de ligação, mas perde distâncias e declives se não houver pesos. Para planear percurso real, acrescente comprimentos e restrições que o mapa completo forneça.
Um grafo simples sem pesos não informa comprimentos, tempos ou sentidos de circulação. Duas rotas com o mesmo número de arestas podem ter distâncias muito diferentes. Para escolher caminho mais curto em quilómetros, é necessário acrescentar pesos medidos.
Exemplo resolvido
Uma rede simples tem vértices A, B, C, D e arestas AB, BC, CD, DA, AC. Quantos vértices e arestas há e que controlo fornecem os graus?
- Os locais distintos A, B, C e D dão quatro vértices; as cinco ligações nomeadas dão cinco arestas.
- Contamos os graus: A toca AB, DA e AC (3); B toca AB e BC (2); C toca BC, CD e AC (3); D toca CD e DA (2).
- A soma 3+2+3+2=10 é duas vezes o número de arestas, pois cada aresta é contada nos seus dois extremos.
A rede tem quatro vértices e cinco arestas; a soma dos graus, 10, confirma a contagem.
Atenção ao erro
Os nomes dos locais determinam o comprimento dos caminhos
Verifica agora
Uma nova rede tem cinco vértices e seis arestas. Quanto deve somar o grau dos cinco vértices?
Ver solução explicada
Resposta: A soma dos graus é 2×6=12, pois cada aresta incide em dois extremos.
Mostra os dados e cálculo: A soma dos graus é 2×6=12, pois cada aresta incide em dois extremos.
Se duas linhas da rede nova se cruzarem no desenho sem um ponto de local assinalado, nasce outro vértice?
Ver solução explicada
Resposta: Não. O cruzamento gráfico sem vértice definido não altera os cinco locais nem a soma de graus 12.
Explica o resultado: Não. O cruzamento gráfico sem vértice definido não altera os cinco locais nem a soma de graus 12.
Corrige esta leitura do caso: «Os nomes dos locais determinam o comprimento dos caminhos». Que relação foi confundida?
Ver solução explicada
Resposta: A leitura é injustificada. Um grafo simplifica a rede conservando ligações relevantes. Pesos ou distâncias exigem dados adicionais.
Refuta a afirmação com uma razão ligada ao caso e apresenta alternativa correta.
Que cautela é necessária ao estudar outro caso de «Representar uma rede por grafo»?
Ver solução explicada
Resposta: Pesos ou distâncias exigem dados adicionais.
Indica limite pertinente à evidência, sem prometer generalização indevida.
Alinhamento curricular e fontes
- Distinguir vértices, arestas e adjacência num grafo simples, página 13. Objetivo oficial parafraseado: Distinguir vértices, arestas e adjacência num grafo simples. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-aplicada-ciencias-sociais · 11-ano