10.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Analisar uma situação sobre «Medir distância entre pontos num plano cartesiano» e justificar a decisão com os dados apresentados.
Compreender
A distância entre dois pontos resulta de deslocamentos perpendiculares nos eixos e do teorema de Pitágoras; exige unidade e escala iguais. Num desenho técnico, os pontos A e B têm coordenadas (1, 2) e (4, 6) em centímetros num referencial ortogonal. Um modelo matemático começa pela definição das grandezas, das unidades e da pergunta a responder. Os números do caso não dispensam a escolha de uma operação apropriada: é necessário saber que relação se pretende medir ou comparar. Uma tabela, um gráfico ou um esquema torna explícitos os dados, mas só é útil se mantiver a escala e as condições do problema.
Calcular diferenças 3 e 4, formar triângulo retângulo e obter distância 5 centímetros, verificando com um esboço. Mostra pelo menos um passo intermédio de cálculo ou construção, para que outra pessoa possa conferir o resultado. Se houver arredondamento, indica em que momento foi feito e se pode alterar a decisão. Compara o valor obtido com uma estimativa razoável; uma resposta numericamente calculada pode ser inadequada quando viola o domínio, a unidade ou a hipótese do modelo.
Somar simplesmente diferenças 3 e 4 daria um percurso em grelha, não a distância em linha reta. Cinco centímetros é a distância direta neste referencial; mudar a escala num eixo exige transformar coordenadas antes do cálculo. Interpreta o resultado na situação original e distingue o valor calculado da conclusão que ele autoriza. Uma regra aplicada a estes dados pode produzir outro resultado com valores diferentes. Antes de generalizar, verifica as hipóteses e os limites do método e explica quais as informações adicionais necessárias para decidir entre alternativas.
Exemplo resolvido
Num plano ortogonal com a mesma unidade nos dois eixos, P=(−2,1) e Q=(4,9). Quanto mede o segmento direto PQ?
- A diferença horizontal é 4−(−2)=6 unidades e a vertical é 9−1=8 unidades.
- Os deslocamentos perpendiculares formam os catetos de um triângulo retângulo; aplicamos |PQ|=√(6²+8²).
- Calculamos √(36+64)=√100=10. O percurso pela grelha seria 6+8=14 e responde a outra pergunta.
A distância em linha reta entre P e Q é 10 unidades do referencial.
Atenção ao erro
Somar simplesmente diferenças 3 e 4 daria um percurso em grelha, não a distância em linha reta.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Que diferenças de coordenadas formam os catetos entre A e B?
Ver solução explicada
Resposta: De (1,2) a (4,6), a diferença horizontal é 3 cm e a vertical é 4 cm.
Opera os dados específicos do cenário e justifica a relação.
Retoma o caso da explicação: Como obter a distância direta, em vez de um percurso pela grelha?
Ver solução explicada
Resposta: Aplicar Pitágoras aos catetos 3 e 4: a raiz de 3²+4² é 5 centímetros, válida para os eixos ortogonais na mesma escala.
Aplica o procedimento ao caso e explica a condição decisiva.
Retoma o caso da explicação: Que erro de interpretação ou execução deve ser evitado neste caso? Explica porquê.
Ver solução explicada
Resposta: Somar simplesmente diferenças 3 e 4 daria um percurso em grelha, não a distância em linha reta.
Nomeia o erro específico e explica a informação que lhe falta.
Retoma o caso da explicação: Que conclusão é possível tirar dos dados e que limite deve ser indicado?
Ver solução explicada
Resposta: Cinco centímetros é a distância direta neste referencial; mudar a escala num eixo exige transformar coordenadas antes do cálculo.
Conserva condição, evidência e limite da conclusão.
Alinhamento curricular e fontes
- Geometria analítica no plano, páginas 34-36. Objetivo oficial parafraseado: A distância entre dois pontos resulta de deslocamentos perpendiculares nos eixos e do teorema de Pitágoras; exige unidade e escala iguais.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-b · 10-ano