11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Analisar uma situação sobre «Otimizar uma área com perímetro fixo» e justificar a decisão com os dados apresentados.
Compreender
Uma restrição de perímetro limita as dimensões possíveis de um retângulo; a maior área não se deduz de escolher apenas o lado mais comprido. Há 20 metros de fita para delimitar um retângulo sem desperdício, com lados positivos x e 10 menos x. Um modelo matemático começa pela definição das grandezas, das unidades e da pergunta a responder. Os números do caso não dispensam a escolha de uma operação apropriada: é necessário saber que relação se pretende medir ou comparar. Uma tabela, um gráfico ou um esquema torna explícitos os dados, mas só é útil se mantiver a escala e as condições do problema.
Escrever A(x)=x(10−x), observar a simetria da parábola e encontrar máximo de 25 metros quadrados quando x é 5. Mostra pelo menos um passo intermédio de cálculo ou construção, para que outra pessoa possa conferir o resultado. Se houver arredondamento, indica em que momento foi feito e se pode alterar a decisão. Compara o valor obtido com uma estimativa razoável; uma resposta numericamente calculada pode ser inadequada quando viola o domínio, a unidade ou a hipótese do modelo.
Usar x=10 deixaria o outro lado zero e não formaria uma área retangular positiva. O quadrado de cinco por cinco maximiza a área entre os retângulos com perímetro 20; outras restrições podem alterar a solução. Interpreta o resultado na situação original e distingue o valor calculado da conclusão que ele autoriza. Uma regra aplicada a estes dados pode produzir outro resultado com valores diferentes. Antes de generalizar, verifica as hipóteses e os limites do método e explica quais as informações adicionais necessárias para decidir entre alternativas.
Exemplo resolvido
Há 24 m de cerca para um retângulo completo, sem desperdício. Quais são os lados positivos que maximizam a área?
- Se um lado mede x, o outro mede 12−x, porque 2x+2(12−x)=24; o domínio físico é 0<x<12.
- A área é A(x)=x(12−x)=36−(x−6)². O quadrado subtraído nunca é negativo.
- Logo A(x)≤36 m², com igualdade quando x−6=0; os dois lados valem 6 m.
O quadrado de 6 m por 6 m atinge o máximo de 36 m² entre esses retângulos.
Atenção ao erro
Usar x=10 deixaria o outro lado zero e não formaria uma área retangular positiva.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Que valores de x dão lados positivos e qual área resulta quando x=5?
Ver solução explicada
Resposta: É preciso 0<x<10; em x=5 os lados são 5 e 5 metros, com área 25 metros quadrados.
Opera os dados específicos do cenário e justifica a relação.
Retoma o caso da explicação: Como provar o máximo no domínio físico indicado?
Ver solução explicada
Resposta: Usar A=x(10−x)=25−(x−5)²; o quadrado subtraído é não negativo, logo A≤25 com igualdade em x=5.
Aplica o procedimento ao caso e explica a condição decisiva.
Retoma o caso da explicação: Que erro de interpretação ou execução deve ser evitado neste caso? Explica porquê.
Ver solução explicada
Resposta: Usar x=10 deixaria o outro lado zero e não formaria uma área retangular positiva.
Nomeia o erro específico e explica a informação que lhe falta.
Retoma o caso da explicação: Que conclusão é possível tirar dos dados e que limite deve ser indicado?
Ver solução explicada
Resposta: O quadrado de cinco por cinco maximiza a área entre os retângulos com perímetro 20; outras restrições podem alterar a solução.
Conserva condição, evidência e limite da conclusão.
Alinhamento curricular e fontes
- Otimização, páginas 15-16. Objetivo oficial parafraseado: Uma restrição de perímetro limita as dimensões possíveis de um retângulo; a maior área não se deduz de escolher apenas o lado mais comprido.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-b · 11-ano