11.º anoPercurso edumaterial
O que vais aprender
- Analisar uma situação sobre «Resolver uma distância num triângulo não retângulo» e justificar a decisão com os dados apresentados.
Compreender
Num triângulo obliquângulo as relações entre lados e ângulos requerem decomposição ou leis trigonométricas adequadas; Pitágoras direto não serve. Dois pontos de observação separados por 10 metros veem um marco com ângulos internos de 45 e 60 graus. Um modelo matemático começa pela definição das grandezas, das unidades e da pergunta a responder. Os números do caso não dispensam a escolha de uma operação apropriada: é necessário saber que relação se pretende medir ou comparar. Uma tabela, um gráfico ou um esquema torna explícitos os dados, mas só é útil se mantiver a escala e as condições do problema.
Calcular o terceiro ângulo de 75 graus e usar a lei dos senos para obter distâncias ao marco, conservando a unidade. Mostra pelo menos um passo intermédio de cálculo ou construção, para que outra pessoa possa conferir o resultado. Se houver arredondamento, indica em que momento foi feito e se pode alterar a decisão. Compara o valor obtido com uma estimativa razoável; uma resposta numericamente calculada pode ser inadequada quando viola o domínio, a unidade ou a hipótese do modelo.
Tratar o ângulo de 75 graus como reto produziria uma distância incompatível com os dados. O método dos senos é aplicável aos ângulos e à base conhecidos; arredondamentos devem ser anunciados no resultado. Interpreta o resultado na situação original e distingue o valor calculado da conclusão que ele autoriza. Uma regra aplicada a estes dados pode produzir outro resultado com valores diferentes. Antes de generalizar, verifica as hipóteses e os limites do método e explica quais as informações adicionais necessárias para decidir entre alternativas.
Exemplo resolvido
Num triângulo não retângulo, a base mede 10 m e está oposta a um ângulo de 120°. Os outros ângulos medem 30° cada. Quanto medem os dois lados restantes?
- Confirmamos a soma angular: 120°+30°+30°=180°. Os lados opostos a ângulos iguais têm a mesma medida.
- Pela lei dos senos, cada lado lateral L satisfaz L/sen30°=10/sen120°.
- Como sen30°=1/2 e sen120°=√3/2, obtemos L=10/√3≈5,77 m. O seno de 120° não é o de 90°.
Cada lado restante mede 10/√3 m, aproximadamente 5,77 m.
Atenção ao erro
Tratar o ângulo de 75 graus como reto produziria uma distância incompatível com os dados.
Verifica agora
Retoma o caso da explicação: Qual é o terceiro ângulo do triângulo de observação?
Ver solução explicada
Resposta: Os ângulos internos somam 180 graus; 180−45−60=75 graus, portanto não é um triângulo retângulo.
Opera os dados específicos do cenário e justifica a relação.
Retoma o caso da explicação: Que relação permite calcular as distâncias ao marco a partir da base?
Ver solução explicada
Resposta: Associar a base de 10 m ao ângulo oposto de 75 graus e usar lei dos senos para os lados opostos a 45 e 60 graus.
Aplica o procedimento ao caso e explica a condição decisiva.
Retoma o caso da explicação: Que erro de interpretação ou execução deve ser evitado neste caso? Explica porquê.
Ver solução explicada
Resposta: Tratar o ângulo de 75 graus como reto produziria uma distância incompatível com os dados.
Nomeia o erro específico e explica a informação que lhe falta.
Retoma o caso da explicação: Que conclusão é possível tirar dos dados e que limite deve ser indicado?
Ver solução explicada
Resposta: O método dos senos é aplicável aos ângulos e à base conhecidos; arredondamentos devem ser anunciados no resultado.
Conserva condição, evidência e limite da conclusão.
Alinhamento curricular e fontes
- Distâncias inacessíveis, páginas 25-27. Objetivo oficial parafraseado: Num triângulo obliquângulo as relações entre lados e ângulos requerem decomposição ou leis trigonométricas adequadas; Pitágoras direto não serve.. O exemplo, a sequência e os exercícios são editoriais. · Aprendizagens Essenciais · matematica-b · 11-ano