6º anoPercurso edumaterial
O que você vai aprender
- Projetar uma composição e verificar que uma tabela de frequências não substitui a hipótese equiprovável.
- Construir ou reparar uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.
Antes de começar
- Escrever a chance de um sorteio simples como fração de casos favoráveis sobre casos possíveis.
- Comparar frações e porcentagens simples.
O que precisamos distinguir
Em um sorteio de fichas fisicamente iguais, bem misturadas, cada ficha tem a mesma chance. As categorias podem agrupar quantidades diferentes de fichas. A probabilidade de uma cor compara a quantidade dessa cor com o total; contar nomes de cores ignora os tamanhos dos grupos. A equiprobabilidade pertence ao procedimento, não ao nome do resultado.
Uma tabela de ensaios conta o que aconteceu. Sua frequência relativa é ocorrências divididas por tentativas, enquanto a probabilidade calculada descreve o modelo de sorteio. Uma frequência diferente da prevista em poucos ensaios não demonstra defeito nem obriga o ensaio seguinte a compensar resultados.
Ao modificar uma urna, atualize tanto a quantidade favorável quanto o total. Para projetar uma chance exata, use frações equivalentes com contagens inteiras. Antes de concluir que um registro determina a composição, tente construir outra urna compatível. Dois exemplos diferentes podem revelar que faltam dados sobre o total ou sobre o procedimento.
- Resultado elementar
- Uma ficha individual considerada como possibilidade no modelo de sorteio equiprovável.
Escolher e conferir
- Descreva o que é igualmente provável no procedimento.
- Conte as fichas favoráveis e o total antes e depois da alteração.
- Compare frações equivalentes ou frequências com denominadores explícitos.
- Separe previsão do modelo, observação e informação ainda ausente.
Um caso resolvido
Uma urna tem duas fichas verdes, três azuis e cinco amarelas, todas iguais e bem misturadas. Uma ficha é sorteada. Compare a chance de verde com a de azul. Depois acrescente apenas verdes até igualar essas duas chances e escreva ambas como fração exata do novo total.
- Inicialmente verde tem 2/10 e azul 3/10.
- Acrescentar uma verde iguala as contagens: três de cada entre onze fichas.
- Ambas as chances são 3/11, não 1/3; amarelas continuam cinco.
Inicialmente verde tem 2/10 e azul 3/10. Acrescentar uma verde iguala as contagens: três de cada entre onze fichas. Ambas as chances são 3/11, não 1/3; amarelas continuam cinco.
Registro do exemplo
| Cor | Antes | Depois |
|---|---|---|
| Verde | 2 | 3 |
| Azul | 3 | 3 |
| Amarela | 5 | 5 |
| Total | 10 | 11 |
Por que esse erro acontece
Usar o número de cores como denominador sem comparar suas contagens.
Usar o número de fichas igualmente prováveis.
Categorias de tamanhos diferentes não herdam chances iguais.
- Com fichas iguais e bem misturadas, cada ficha tem a mesma chance; as cores não.
- Ao mudar a urna, atualize a quantidade favorável e o total antes de comparar.
- Uma frequência observada em poucos ensaios não altera a probabilidade do modelo.
Confira com outro casoExperimente outro caso
Uma urna com fichas iguais tem quatro verdes e oito azuis. Pretende-se obter chance verde de 1/2 retirando só azuis. Um aluno retira duas porque 4+2 é metade de 12. Corrija a ação e confira a chance resultante; depois diga se acrescentar quatro verdes ao conjunto original produziria a mesma chance.
Um relatório diz que a chance de vermelho é 1/4 numa urna equiprovável com menos de 20 fichas e pelo menos uma de cada cor, vermelho e branco. Construa duas urnas de tamanhos diferentes compatíveis. Depois decida se quatro vermelhas e dez brancas também servem e confira pela fração.
Solução acessível sem interação
Resposta: Sua resolução e verificação: É preciso retirar quatro azuis: ficam quatro verdes e quatro azuis, chance 4/8=1/2. Acrescentar quatro verdes ao original dá oito verdes e oito azuis, chance 8/16=1/2. O cálculo 4+2 não representa a retirada proposta nem o novo total.
Modelo de resposta: É preciso retirar quatro azuis: ficam quatro verdes e quatro azuis, chance 4/8=1/2. Acrescentar quatro verdes ao original dá oito verdes e oito azuis, chance 8/16=1/2. O cálculo 4+2 não representa a retirada proposta nem o novo total.
Critérios para revisar sua resposta:
- Determinar a retirada e atualizar a urna.
- Testar a intervenção alternativa desde o estado original.
É preciso retirar quatro azuis: ficam quatro verdes e quatro azuis, chance 4/8=1/2. Acrescentar quatro verdes ao original dá oito verdes e oito azuis, chance 8/16=1/2. O cálculo 4+2 não representa a retirada proposta nem o novo total.
Resposta: Sua resolução e verificação: Exemplos: uma vermelha e três brancas, total quatro; três vermelhas e nove brancas, total doze. A urna com quatro vermelhas e dez brancas tem chance 4/14=2/7, diferente de 1/4. Outras composições positivas com total múltiplo de quatro e menor que 20 são válidas.
Modelo de resposta: Exemplos: uma vermelha e três brancas, total quatro; três vermelhas e nove brancas, total doze. A urna com quatro vermelhas e dez brancas tem chance 4/14=2/7, diferente de 1/4. Outras composições positivas com total múltiplo de quatro e menor que 20 são válidas.
Critérios para revisar sua resposta:
- Construir duas composições inteiras distintas.
- Rejeitar o caso próximo comparando frações.
Exemplos: uma vermelha e três brancas, total quatro; três vermelhas e nove brancas, total doze. A urna com quatro vermelhas e dez brancas tem chance 4/14=2/7, diferente de 1/4. Outras composições positivas com total múltiplo de quatro e menor que 20 são válidas.
O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.
Solução acessível sem interação
- Usar frações equivalentes e limites para enumerar as urnas.
- Atualizar e comparar as duas frações finais.
Resposta: Os totais possíveis são 16 e 24: seis verdes/dez azuis e nove verdes/quinze azuis. Após retirar uma azul, as chances são 6/15=2/5 e 9/23. Não são iguais: 2×23=46 e 5×9=45. A mesma alteração absoluta não conserva a razão em totais diferentes.
Os totais possíveis são 16 e 24: seis verdes/dez azuis e nove verdes/quinze azuis. Após retirar uma azul, as chances são 6/15=2/5 e 9/23. Não são iguais: 2×23=46 e 5×9=45. A mesma alteração absoluta não conserva a razão em totais diferentes.
Verifique agora
Uma urna equiprovável tem três verdes e cinco azuis. Serão acrescentadas duas fichas, cada uma verde ou azul. Investigue todas as composições possíveis dessas duas fichas e encontre a que deixa chance verde exatamente 2/5. Liste as três chances finais em frações exatas.
Ver solução explicada
- Enumerar todas as composições admissíveis.
- Manter total dez e selecionar a fração pretendida.
Resposta: Com zero, uma ou duas verdes acrescentadas, há respectivamente 3/10, 4/10 e 5/10 de verdes. Só uma verde e uma azul dá 4/10=2/5. A lista cobre todas as composições de duas fichas dessas duas cores.
Com zero, uma ou duas verdes acrescentadas, há respectivamente 3/10, 4/10 e 5/10 de verdes. Só uma verde e uma azul dá 4/10=2/5. A lista cobre todas as composições de duas fichas dessas duas cores.
Em 20 sorteios com reposição e boa mistura, saíram seis verdes. A urna tinha duas verdes e três azuis, iguais. Um relatório escreve “a chance mudou para 30%”. Calcule a frequência observada e a chance do modelo. Reescreva o relatório distinguindo as duas e diga que comparação faria em novos ensaios.
Ver solução explicada
- Calcular os dois indicadores com suas bases.
- Não inferir alteração do modelo só da divergência e propor uma comparação coerente.
Resposta: Frequência: 6/20=30%. Chance do modelo: 2/5=40%. Pode-se dizer que a frequência observada foi 30% nesse conjunto de ensaios, sem concluir mudança da composição. Novos ensaios nas mesmas condições permitem comparar frequências com 40%, sem exigir um resultado determinado no próximo sorteio.
Frequência: 6/20=30%. Chance do modelo: 2/5=40%. Pode-se dizer que a frequência observada foi 30% nesse conjunto de ensaios, sem concluir mudança da composição. Novos ensaios nas mesmas condições permitem comparar frequências com 40%, sem exigir um resultado determinado no próximo sorteio.
Dois organizadores oferecem sorteio com fichas iguais. A usa seis fichas, duas premiadas. B usa nove fichas, três premiadas. Um participante diz que B é melhor por ter mais prêmios. Compare as chances e projete uma troca de uma única ficha em B, de não premiada para premiada, que altere a decisão. Dê as novas chances exatas.
Ver solução explicada
- Comparar chances, não apenas contagens.
- Atualizar o numerador com total fixo e conferir a nova comparação.
Resposta: A: 2/6=1/3; B: 3/9=1/3. Mais prêmios não torna B melhor inicialmente. Reclassificar uma não premiada de B como premiada dá 4/9, maior que 1/3=3/9, sem alterar o total nove.
A: 2/6=1/3; B: 3/9=1/3. Mais prêmios não torna B melhor inicialmente. Reclassificar uma não premiada de B como premiada dá 4/9, maior que 1/3=3/9, sem alterar o total nove.
Uma urna equiprovável só tem verdes e azuis. A chance verde é 3/8 e o total está entre 15 e 30, incluindo os limites. Encontre todas as composições possíveis. Depois examine se retirar uma azul de cada composição preserva a mesma chance verde entre as urnas resultantes.
Ver solução explicada
- Usar frações equivalentes e limites para enumerar as urnas.
- Atualizar e comparar as duas frações finais.
Resposta: Os totais possíveis são 16 e 24: seis verdes/dez azuis e nove verdes/quinze azuis. Após retirar uma azul, as chances são 6/15=2/5 e 9/23. Não são iguais: 2×23=46 e 5×9=45. A mesma alteração absoluta não conserva a razão em totais diferentes.
Os totais possíveis são 16 e 24: seis verdes/dez azuis e nove verdes/quinze azuis. Após retirar uma azul, as chances são 6/15=2/5 e 9/23. Não são iguais: 2×23=46 e 5×9=45. A mesma alteração absoluta não conserva a razão em totais diferentes.
Alinhamento curricular e fontes
- BNCC, 6º ano, EF06MA30 (p. 305). Recorte editorial: projetar uma composição e verificar que uma tabela de frequências não substitui a hipótese equiprovável. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular