Uma média permite reconstruir a lista?

7º anoPercurso edumaterial

O que você vai aprender

Distinguir lista possível de lista única e testar extremos sob média e amplitude simultâneas.
Construir ou reparar uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.

Antes de começar

Calcular a média aritmética de uma lista.
Identificar o maior e o menor valor de uma lista.

O que precisamos distinguir

A média determina a soma quando sabemos quantos registros existem. Ela não guarda a posição nem cada valor individual. Multiplique média por quantidade para recuperar o total; depois use as outras condições da lista. Se houver mais de um valor desconhecido, pode continuar havendo várias listas possíveis.

A amplitude é máximo menos mínimo. Ela não usa a soma nem informa quantas vezes aparecem os extremos. Ao reconstruir uma lista com média e amplitude dadas, mantenha as duas condições ao mesmo tempo. Um conjunto de dados pode ter a soma certa e ainda violar o limite dos valores ou a amplitude.

Construir duas listas diferentes com os mesmos resumos demonstra que os resumos não determinam os dados completos. Para demonstrar impossibilidade, compare a soma exigida com a menor ou maior soma permitida pelas condições. Os valores de contagem devem ser inteiros; uma média decimal pode ser legítima mesmo que nenhum registro tenha esse valor.

Resumo não único: Informação que pode corresponder a mais de uma lista de observações.

Escolher e conferir

Recupere a soma pelo produto da média pela quantidade.
Separe a condição de soma das condições sobre extremos e valores admitidos.
Construa candidatos e confira todos os resumos.
Se não houver candidato, demonstre a incompatibilidade com uma cota de soma.

Um caso resolvido

Quatro contagens inteiras não negativas têm média cinco e amplitude quatro. As listas 3, 3, 7, 7 e 3, 5, 5, 7 seriam possíveis? Confira os dois resumos e avalie a afirmação de que eles determinam uma única lista.

As somas são 20, médias 5.
Nas duas, máximo 7 menos mínimo 3 dá 4.
Ambas são possíveis e diferentes; os dois resumos não determinam a lista.
A repetição dos extremos e dos valores centrais muda.

As somas são 20, médias 5. Nas duas, máximo 7 menos mínimo 3 dá 4. Ambas são possíveis e diferentes; os dois resumos não determinam a lista. A repetição dos extremos e dos valores centrais muda.

Registro do exemplo

Lista	Soma / quantidade	Máximo − mínimo
3, 3, 7, 7	20/4=5	7−3=4
3, 5, 5, 7	20/4=5	7−3=4

Por que esse erro acontece

Tratar a média como o valor de cada observação.

Reconstruir a soma e examinar a distribuição separadamente.

Média igual não exige observações iguais.

Média vezes quantidade dá a soma; a média sozinha não determina a lista.
A amplitude é máximo menos mínimo e precisa valer junto com a soma.
Para provar impossibilidade, compare a soma exigida com a maior ou a menor soma permitida.

Confira com outro caso

Cinco contagens inteiras de 0 a 10 têm média oito. Um registro afirma que três delas são zero. Verifique se isso é possível. Se não for, encontre o maior número de zeros compatível com a média e construa uma lista que o atinja.

Sua resolução e verificação

Solução acessível sem interação

Resposta: Sua resolução e verificação: A soma precisa ser 40. Com três zeros, os outros dois somam no máximo 20, impossível. Com dois zeros, os outros três chegam só a 30. Com um zero, 0, 10, 10, 10, 10 soma 40. O máximo é um zero.

Modelo de resposta: A soma precisa ser 40. Com três zeros, os outros dois somam no máximo 20, impossível. Com dois zeros, os outros três chegam só a 30. Com um zero, 0, 10, 10, 10, 10 soma 40. O máximo é um zero.

Critérios para revisar sua resposta:

Comparar a soma exigida às cotas dos restantes.
Construir uma lista que atinja o máximo demonstrado.

A soma precisa ser 40. Com três zeros, os outros dois somam no máximo 20, impossível. Com dois zeros, os outros três chegam só a 30. Com um zero, 0, 10, 10, 10, 10 soma 40. O máximo é um zero.

O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.

Solução acessível sem interação

Enumerar todas as duplas dentro dos limites sem duplicar ordens.
Conferir soma, extremos e amplitude.

Resposta: A soma total é 24; retirando 2 e 10, os dois restantes somam 12 e estão entre 2 e 10. Duplas sem ordem: 2 e 10; 3 e 9; 4 e 8; 5 e 7; 6 e 6. Listas: 2, 2, 10, 10; 2, 3, 9, 10; 2, 4, 8, 10; 2, 5, 7, 10; 2, 6, 6, 10. Todas têm média 6 e amplitude 8.

A soma total é 24; retirando 2 e 10, os dois restantes somam 12 e estão entre 2 e 10. Duplas sem ordem: 2 e 10; 3 e 9; 4 e 8; 5 e 7; 6 e 6. Listas: 2, 2, 10, 10; 2, 3, 9, 10; 2, 4, 8, 10; 2, 5, 7, 10; 2, 6, 6, 10. Todas têm média 6 e amplitude 8.

Verifique agora

Em quatro dias houve média de seis empréstimos por dia. As contagens são inteiras não negativas, e o primeiro dia teve nove. Investigue se pode haver amplitude três e se pode haver amplitude nove. Construa uma lista para cada caso possível e justifique cada impossibilidade. Confira soma e extremos.
Ver solução explicada
- Investigar a compatibilidade da amplitude três sem forçar uma construção inexistente.
- Construir e verificar uma lista de amplitude nove.
Resposta: A soma é 24. Para amplitude três, como há um 9, todos os valores seriam pelo menos 6. Com um 9 e três 6, a soma já seria 27; portanto é impossível. Para amplitude nove, 9, 0, 6, 9 soma 24 e tem máximo 9 e mínimo 0, logo é possível.
A soma é 24. Para amplitude três, como há um 9, todos os valores seriam pelo menos 6. Com um 9 e três 6, a soma já seria 27; portanto é impossível. Para amplitude nove, 9, 0, 6, 9 soma 24 e tem máximo 9 e mínimo 0, logo é possível.
Um grupo de quatro registros tem média dez. Ao acrescentar um quinto registro, a média fica doze. Encontre o novo registro. Depois determine se esse acréscimo necessariamente aumenta a amplitude; dê duas listas iniciais que mostrem o limite da conclusão.
Ver solução explicada
- Reconstruir o registro por diferença de somas.
- Dar dois contraexemplos com média inicial dez e efeitos distintos na amplitude.
Resposta: A soma inicial é 40 e a final 60; o novo registro é 20. Pode aumentar: 10, 10, 10, 10 tem amplitude 0, que passa a 10. Pode conservar: 0, 0, 20, 20 já tem amplitude 20 e continua 20. O efeito sobre a média não determina o efeito sobre a amplitude.
A soma inicial é 40 e a final 60; o novo registro é 20. Pode aumentar: 10, 10, 10, 10 tem amplitude 0, que passa a 10. Pode conservar: 0, 0, 20, 20 já tem amplitude 20 e continua 20. O efeito sobre a média não determina o efeito sobre a amplitude.
Três dias válidos tiveram média sete visitantes; o formulário inclui uma quarta linha vazia. Um relatório dá média de 5,25 como se a linha vazia fosse zero. Calcule a soma conhecida e investigue quais contagens inteiras no quarto dia fariam a média final menor, igual ou maior que sete. Dê um exemplo de cada.
Ver solução explicada
- Distinguir ausência de zero e recuperar a soma.
- Construir os três efeitos e verificar as médias.
Resposta: A soma conhecida é 21. A média completa é (21+x)/4. Fica abaixo de sete para x<7, igual para x=7 e acima para x>7. Exemplos: x=3 dá 6; x=7 dá 7; x=11 dá 8. A linha vazia não informa qual caso ocorreu.
A soma conhecida é 21. A média completa é (21+x)/4. Fica abaixo de sete para x<7, igual para x=7 e acima para x>7. Exemplos: x=3 dá 6; x=7 dá 7; x=11 dá 8. A linha vazia não informa qual caso ocorreu.
Uma lista de quatro inteiros não negativos tem média seis, mínimo dois e máximo dez. Encontre todas as duplas não ordenadas possíveis para os dois valores restantes. Registre cada lista em ordem crescente e confira a amplitude.
Ver solução explicada
- Enumerar todas as duplas dentro dos limites sem duplicar ordens.
- Conferir soma, extremos e amplitude.
Resposta: A soma total é 24; retirando 2 e 10, os dois restantes somam 12 e estão entre 2 e 10. Duplas sem ordem: 2 e 10; 3 e 9; 4 e 8; 5 e 7; 6 e 6. Listas: 2, 2, 10, 10; 2, 3, 9, 10; 2, 4, 8, 10; 2, 5, 7, 10; 2, 6, 6, 10. Todas têm média 6 e amplitude 8.
A soma total é 24; retirando 2 e 10, os dois restantes somam 12 e estão entre 2 e 10. Duplas sem ordem: 2 e 10; 3 e 9; 4 e 8; 5 e 7; 6 e 6. Listas: 2, 2, 10, 10; 2, 3, 9, 10; 2, 4, 8, 10; 2, 5, 7, 10; 2, 6, 6, 10. Todas têm média 6 e amplitude 8.

Alinhamento curricular e fontes

BNCC, 7º ano, EF07MA35 (p. 311). Recorte editorial: distinguir lista possível de lista única e testar extremos sob média e amplitude simultâneas. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular

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Praticar isto: Interpretar média e amplitude