Que resumo responde à decisão?

8º anoPercurso edumaterial

O que você vai aprender

Investigar invariantes de posição e frequência e construir distribuições discriminadas por um critério explícito.
Construir ou reparar uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.

Antes de começar

Calcular a média de uma lista.
Ordenar dados e contar frequências.

O que precisamos distinguir

Média, mediana e moda respondem a perguntas diferentes. A média conserva a soma ao repartir por igual; a mediana separa posições numa lista ordenada; a moda registra a maior frequência. Escolha a medida a partir da decisão. Perguntar pelo total, pela posição central ou pelo valor mais frequente pode exigir representações diferentes dos mesmos dados.

Uma alteração de um valor pode mudar a soma sem mudar os valores centrais. Outra alteração pode conservar a soma e deslocar a mediana. Para investigar, escreva a lista antes e depois em ordem e marque as posições, em vez de supor que todos os resumos acompanham a média.

A moda pode não ser única; se houver empate na maior frequência, registre todos os valores empatados. A amplitude informa a diferença entre extremos e não mede o número de pessoas numa faixa. Resumos iguais podem esconder frequências diferentes para o critério de uma decisão. Quando a decisão fala de um limite, conte diretamente os registros que o atendem.

Critério da decisão: Quantidade que a pergunta realmente usa, como total, posição central ou número de registros que atendem a um limite.

Escolher e conferir

Escreva o critério da decisão antes de escolher um resumo.
Ordene os dados e preserve todas as repetições.
Calcule apenas as medidas necessárias, comparando com a contagem direta quando houver um limite.
Ao alterar um dado, reconte posições, frequências e extremos separadamente.

Um caso resolvido

Duas listas de tempos em minutos são A: 2, 4, 6, 8, 10 e B: 1, 5, 6, 7, 11. Uma tarefa exige ao menos quatro atendimentos de até oito minutos. Compare média, mediana e a contagem relevante; decida se esses dois resumos bastam para afirmar que a meta foi atingida.

As duas somam 30, com média 6 e mediana 6.
Em A há quatro tempos ≤ 8; em B também quatro.
Ambas atingem a meta neste caso, mas as duas médias e medianas, sozinhas, não fornecem essa contagem.
Foi preciso ler os registros.
Por exemplo 1, 1, 6, 11, 11 teria os mesmos resumos e só três tempos ≤ 8.

As duas somam 30, com média 6 e mediana 6. Em A há quatro tempos ≤ 8; em B também quatro. Ambas atingem a meta neste caso, mas as duas médias e medianas, sozinhas, não fornecem essa contagem. Foi preciso ler os registros. Por exemplo 1, 1, 6, 11, 11 teria os mesmos resumos e só três tempos ≤ 8.

Registro do exemplo

Lista	Média / mediana	Tempos até 8 min
A	6 / 6	4
B	6 / 6	4
Contraexemplo	6 / 6	3

Por que esse erro acontece

Escolher a medida por ser o tema da página.

Relacionar o indicador à finalidade declarada.

Uma média não conta diretamente quantos registros cumprem um prazo.

Escolha o resumo pela decisão: total, posição central ou valor mais frequente.
Ao alterar dados, reordene a lista e reconte posições, frequências e extremos.
Quando a decisão depende de um limite, conte diretamente os registros que o atendem.

Confira com outro caso

Uma lista ordenada é 1, 3, 5, x, 8, 8, com x inteiro entre 5 e 8, inclusive. A mediana informada é 6,5. Reconstrua x e calcule média, moda e amplitude. Um relatório chama 6,5 de média; confira se esse rótulo é correto. Dê a média como decimal exato.

Sua resolução e verificação

Solução acessível sem interação

Resposta: Sua resolução e verificação: Como há seis dados, a mediana é (5+x)/2. Assim 5+x=13 e x=8. A lista é 1, 3, 5, 8, 8, 8, soma 33 e média 5,5. A moda é 8 e a amplitude 7. O número 6,5 é a mediana, não a média deste registro.

Modelo de resposta: Como há seis dados, a mediana é (5+x)/2. Assim 5+x=13 e x=8. A lista é 1, 3, 5, 8, 8, 8, soma 33 e média 5,5. A moda é 8 e a amplitude 7. O número 6,5 é a mediana, não a média deste registro.

Critérios para revisar sua resposta:

Reconstruir o valor central usando as duas posições da mediana.
Calcular os outros resumos e corrigir o rótulo.

Como há seis dados, a mediana é (5+x)/2. Assim 5+x=13 e x=8. A lista é 1, 3, 5, 8, 8, 8, soma 33 e média 5,5. A moda é 8 e a amplitude 7. O número 6,5 é a mediana, não a média deste registro.

O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.

Solução acessível sem interação

Enumerar os valores inteiros permitidos e suas frequências.
Não excluir uma moda por ser empatada; calcular médias exatas dos casos válidos.

Resposta: A mediana é x. Se x=5, cinco e oito aparecem duas vezes: modas 5 e 8, média 40/7. Se x=6 ou 7, só oito tem maior frequência e a mediana não é moda. Se x=8, a moda única é 8 e a média 43/7. Servem x=5 e 8.

A mediana é x. Se x=5, cinco e oito aparecem duas vezes: modas 5 e 8, média 40/7. Se x=6 ou 7, só oito tem maior frequência e a mediana não é moda. Se x=8, a moda única é 8 e a média 43/7. Servem x=5 e 8.

Verifique agora

Construa duas listas de cinco inteiros de 0 a 10, ambas com mediana cinco. Uma precisa ter exatamente dois valores iguais a cinco e a outra exatamente um. Faça as médias diferentes e confira medianas, médias e frequências do cinco.
Ver solução explicada
- Construir listas que respeitem o domínio e a posição central.
- Conferir as frequências e demonstrar médias diferentes.
Resposta: Exemplos: A=1, 5, 5, 7, 9 tem mediana 5, média 27/5=5,4 e dois cincos. B=0, 2, 5, 6, 7 tem mediana 5, média 20/5=4 e um cinco. Outras listas com todas as condições são aceitas.
Exemplos: A=1, 5, 5, 7, 9 tem mediana 5, média 27/5=5,4 e dois cincos. B=0, 2, 5, 6, 7 tem mediana 5, média 20/5=4 e um cinco. Outras listas com todas as condições são aceitas.
A lista de notas é 4, 4, 6, 8, 8, 10. Uma comissão usa a mediana para escolher uma nota de referência. Outra usa a maior frequência e exige listar todos os empates. Dê os resultados de ambas. Depois investigue se existe uma única nota inteira de 0 a 10 que, acrescentada à lista, torne a moda única sem alterar a mediana: se existir, dê essa nota e confira; se não existir, justifique.
Ver solução explicada
- Calcular mediana par e todas as modas.
- Investigar as únicas adições que desempatem e justificar a impossibilidade.
Resposta: Mediana inicial: (6+8)/2 = 7; modas 4 e 8. Com sete notas, a mediana passa a ser a quarta nota; para continuar 7, a nota acrescentada teria de ser 7, e então 4 e 8 continuariam empatadas. Só acrescentar 4 ou 8 desempata a moda, mas acrescentar 4 leva a mediana a 6 e acrescentar 8 a leva a 8. Não existe nota que cumpra as duas condições.
Mediana inicial: (6+8)/2 = 7; modas 4 e 8. Com sete notas, a mediana passa a ser a quarta nota; para continuar 7, a nota acrescentada teria de ser 7, e então 4 e 8 continuariam empatadas. Só acrescentar 4 ou 8 desempata a moda, mas acrescentar 4 leva a mediana a 6 e acrescentar 8 a leva a 8. Não existe nota que cumpra as duas condições.
Parta da lista 2, 4, 6, 8, 10. Altere exatamente dois registros: acrescente um mesmo inteiro positivo k a um deles e retire k do outro, mantendo todos os valores entre 0 e 10. Encontre todos os valores de k que permitem obter mediana 5 e o 5 como única moda, sem mudar a média. Para cada valor, dê a lista final e confira média, mediana, moda e amplitude.
Ver solução explicada
- Conservar a soma e o domínio, alterando exatamente dois registros.
- Justificar por que os dois registros alterados precisam virar 5 e encontrar todos os valores de k.
Resposta: Para o 5 ser a única moda, ele precisa aparecer pelo menos duas vezes; como a lista não tem 5, os dois registros alterados precisam virar 5: um sobe k e o outro desce k. Os pares possíveis são 4 e 6, com k=1, e 2 e 8, com k=3. Com k=1: 2, 5, 5, 8, 10; média 6, mediana 5, moda 5, amplitude 8. Com k=3: 4, 5, 5, 6, 10; média 6, mediana 5, moda 5, amplitude 6. A soma 30 não muda porque se acrescenta e se retira o mesmo k.
Para o 5 ser a única moda, ele precisa aparecer pelo menos duas vezes; como a lista não tem 5, os dois registros alterados precisam virar 5: um sobe k e o outro desce k. Os pares possíveis são 4 e 6, com k=1, e 2 e 8, com k=3. Com k=1: 2, 5, 5, 8, 10; média 6, mediana 5, moda 5, amplitude 8. Com k=3: 4, 5, 5, 6, 10; média 6, mediana 5, moda 5, amplitude 6. A soma 30 não muda porque se acrescenta e se retira o mesmo k.
Uma lista ordenada de sete inteiros é 1, 3, 5, x, 8, 8, 10, com 5≤x≤8. Descubra todos os valores de x que fazem a mediana ser também uma moda da lista. Para cada caso, dê todas as modas e a média como fração exata.
Ver solução explicada
- Enumerar os valores inteiros permitidos e suas frequências.
- Não excluir uma moda por ser empatada; calcular médias exatas dos casos válidos.
Resposta: A mediana é x. Se x=5, cinco e oito aparecem duas vezes: modas 5 e 8, média 40/7. Se x=6 ou 7, só oito tem maior frequência e a mediana não é moda. Se x=8, a moda única é 8 e a média 43/7. Servem x=5 e 8.
A mediana é x. Se x=5, cinco e oito aparecem duas vezes: modas 5 e 8, média 40/7. Se x=6 ou 7, só oito tem maior frequência e a mediana não é moda. Se x=8, a moda única é 8 e a média 43/7. Servem x=5 e 8.

Alinhamento curricular e fontes

BNCC, 8º ano, EF08MA25 (p. 315). Recorte editorial: investigar invariantes de posição e frequência e construir distribuições discriminadas por um critério explícito. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular

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Praticar isto: Escolher e interpretar medidas de tendência central