O segundo sorteio conserva qual condição?

9º anoPercurso edumaterial

O que você vai aprender

Comparar protocolos por eventos discriminantes e distinguir chance marginal de dependência entre duas retiradas.
Construir ou reparar uma resposta, verificando as condições e os limites do resultado.

Antes de começar

Calcular a probabilidade de um evento simples em sorteio equiprovável.
Multiplicar frações.

O que precisamos distinguir

Para calcular uma sequência de retiradas, escreva o que existe antes de cada etapa. Com reposição e mistura nas mesmas condições, a composição original reaparece. Sem reposição, a segunda composição depende da ficha retirada. As chances da sequência precisam acompanhar cada ramo, não apenas repetir a fração inicial.

Um evento pode conservar sua chance total e ainda depender do resultado anterior. Em uma urna com cores, sem reposição, a chance da segunda cor, sem saber a primeira, pode coincidir com a inicial por simetria das posições. Isso não torna as retiradas independentes: depois que sabemos a primeira cor, as possibilidades mudam. Some os ramos que levam ao mesmo evento antes de comparar.

Para distinguir dois protocolos, escolha um evento para o qual eles prevejam probabilidades diferentes. Uma única sequência observada que seja possível nos dois não identifica qual foi usado. A comparação é entre regras e condições; não se conclui mudança de procedimento por uma amostra curta que difere da frequência prevista.

Evento discriminante: Evento cujas probabilidades previstas diferem entre os protocolos que se quer comparar.

Escolher e conferir

Descreva as fichas e a condição de reposição antes de calcular.
Construa os ramos necessários e atualize as quantidades.
Some ramos mutuamente exclusivos que correspondam à pergunta.
Compare previsões e separe chance total de chance após conhecer a primeira etapa.

Um caso resolvido

Uma urna tem duas fichas verdes e uma azul, iguais e misturadas. Retiram-se duas sem reposição. Calcule a chance de a segunda ser azul sem saber a primeira, e depois sabendo que a primeira foi verde. Compare com a chance azul da primeira retirada.

Segunda azul só pode vir do ramo verde→azul: 2/3×1/2=1/3.
A primeira azul também tem chance 1/3.
Sabendo que a primeira foi verde, a chance azul da segunda é 1/2.
A igualdade das chances totais não torna as retiradas independentes.

Segunda azul só pode vir do ramo verde→azul: 2/3×1/2=1/3. A primeira azul também tem chance 1/3. Sabendo que a primeira foi verde, a chance azul da segunda é 1/2. A igualdade das chances totais não torna as retiradas independentes.

Registro do exemplo

Primeira retirada	Chance do ramo inicial	Chance de azul na segunda
Verde	2/3	1/2
Azul	1/3	0
Segunda azul sem informação	(2/3)×(1/2)	1/3 no total

Por que esse erro acontece

Concluir independência só porque a segunda chance total é igual à primeira.

Comparar também a chance da segunda após conhecer a primeira.

A informação sobre a retirada anterior pode mudar a composição disponível.

Sem reposição, a composição da segunda retirada depende da primeira.
A chance total da segunda retirada é a soma dos ramos que levam ao mesmo evento.
Para distinguir protocolos, use um evento com probabilidades diferentes em cada um.

Confira com outro caso

Uma urna tem três vermelhas e duas brancas, iguais. O protocolo A repõe a primeira ficha e mistura; B não repõe. Compare as chances de duas vermelhas e de uma de cada cor, em qualquer ordem. Qual evento distingue melhor as previsões se o critério for a maior diferença absoluta entre essas duas probabilidades? Use frações exatas.

Sua resolução e verificação

Solução acessível sem interação

Resposta: Sua resolução e verificação: Duas vermelhas: A=9/25; B=3/5×2/4=3/10, diferença 3/50. Uma de cada: A=2×3/5×2/5=12/25; B=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5, diferença 3/25. Pelo critério dado, uma de cada distingue mais, pois 3/25>3/50.

Modelo de resposta: Duas vermelhas: A=9/25; B=3/5×2/4=3/10, diferença 3/50. Uma de cada: A=2×3/5×2/5=12/25; B=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5, diferença 3/25. Pelo critério dado, uma de cada distingue mais, pois 3/25>3/50.

Critérios para revisar sua resposta:

Calcular os dois eventos nos dois protocolos, incluindo as duas ordens.
Comparar diferenças absolutas segundo o critério declarado.

Duas vermelhas: A=9/25; B=3/5×2/4=3/10, diferença 3/50. Uma de cada: A=2×3/5×2/5=12/25; B=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5, diferença 3/25. Pelo critério dado, uma de cada distingue mais, pois 3/25>3/50.

O desafio final está na prática 4. Resolva essa prática com seus dados e condições; consulte o modelo somente depois de responder.

Solução acessível sem interação

Comparar regras com eventos e totais diferentes.
Recalcular os ramos sob reposição e comparar a nova diferença.

Resposta: Sem reposição, iguais: 2/5×1/4+3/5×2/4=1/10+3/10=2/5. Uma azul em uma retirada: 3/5, diferença 1/5. Com reposição, iguais: 4/25+9/25=13/25. A alternativa 3/5=15/25 ainda tem chance maior, por 2/25. Não se usa apenas a chance do primeiro ramo.

Sem reposição, iguais: 2/5×1/4+3/5×2/4=1/10+3/10=2/5. Uma azul em uma retirada: 3/5, diferença 1/5. Com reposição, iguais: 4/25+9/25=13/25. A alternativa 3/5=15/25 ainda tem chance maior, por 2/25. Não se usa apenas a chance do primeiro ramo.

Verifique agora

Uma urna tem duas pretas e duas brancas. Retiram-se duas sem reposição. Um relatório soma as probabilidades de preta→branca e branca→preta e obtém 2/3. Outro diz que a chance de “cores diferentes” é 1/2 porque existem dois nomes: iguais e diferentes. Reconstrua os ramos e compare a chance de cores iguais.
Ver solução explicada
- Calcular as duas ordens de cada evento sem reposição.
- Conferir o complemento e rejeitar equiprobabilidade por nomes.
Resposta: Cada ordem diferente tem 2/4×2/3=1/3; somam 2/3. Iguais: preta→preta e branca→branca têm 1/6 cada, soma 1/3. Os dois nomes não são resultados equiprováveis. A soma das chances é 1, conferindo o espaço.
Cada ordem diferente tem 2/4×2/3=1/3; somam 2/3. Iguais: preta→preta e branca→branca têm 1/6 cada, soma 1/3. Os dois nomes não são resultados equiprováveis. A soma das chances é 1, conferindo o espaço.
Construa uma urna apenas com verdes e azuis, com total entre 3 e 8, inclusive, e com as duas cores presentes. A chance de duas verdes com reposição deve ser 1/4. Liste todas as composições possíveis e calcule a chance de duas verdes sem reposição para cada uma.
Ver solução explicada
- Reconstruir a proporção e enumerar os totais inteiros.
- Atualizar cada composição para o protocolo sem reposição.
Resposta: Com reposição, (v/n)²=1/4 e 0<v/n<1, portanto v/n=1/2. Totais pares entre 3 e 8: 4, 6 e 8, com 2, 3 e 4 verdes e igual número de azuis. Sem reposição: 2/4×1/3=1/6; 3/6×2/5=1/5; 4/8×3/7=3/14.
Com reposição, (v/n)²=1/4 e 0<v/n<1, portanto v/n=1/2. Totais pares entre 3 e 8: 4, 6 e 8, com 2, 3 e 4 verdes e igual número de azuis. Sem reposição: 2/4×1/3=1/6; 3/6×2/5=1/5; 4/8×3/7=3/14.
Uma urna contém quatro verdes e duas azuis, iguais. Retiram-se duas sem reposição. Antes da retirada, a chance de a segunda ser verde é 2/3. Depois alguém informa que a primeira foi azul. Uma ficha mantém a chance da segunda em 2/3. Corrija-a e mostre, por soma de ramos, por que a chance anterior 2/3 também era correta.
Ver solução explicada
- Atualizar a chance após a informação.
- Reconstituir a chance anterior por ramos com suas probabilidades.
Resposta: Após azul, sobram quatro verdes e uma azul: chance 4/5. Sem informação, a segunda verde vem de verde→verde com 4/6×3/5=2/5 e azul→verde com 2/6×4/5=4/15; total 6/15+4/15=10/15=2/3. Os registros usam informações diferentes e não se contradizem.
Após azul, sobram quatro verdes e uma azul: chance 4/5. Sem informação, a segunda verde vem de verde→verde com 4/6×3/5=2/5 e azul→verde com 2/6×4/5=4/15; total 6/15+4/15=10/15=2/3. Os registros usam informações diferentes e não se contradizem.
Um jogo sorteia duas fichas de uma urna com duas amarelas e três azuis, sem reposição. O prêmio sai se as cores forem iguais. Uma regra alternativa oferece apenas uma retirada e premia se sair azul. Compare as probabilidades de prêmio e a diferença exata. Depois diga se a alternativa ainda seria melhor caso as duas retiradas da primeira regra passassem a ter reposição e mistura.
Ver solução explicada
- Comparar regras com eventos e totais diferentes.
- Recalcular os ramos sob reposição e comparar a nova diferença.
Resposta: Sem reposição, iguais: 2/5×1/4+3/5×2/4=1/10+3/10=2/5. Uma azul em uma retirada: 3/5, diferença 1/5. Com reposição, iguais: 4/25+9/25=13/25. A alternativa 3/5=15/25 ainda tem chance maior, por 2/25. Não se usa apenas a chance do primeiro ramo.
Sem reposição, iguais: 2/5×1/4+3/5×2/4=1/10+3/10=2/5. Uma azul em uma retirada: 3/5, diferença 1/5. Com reposição, iguais: 4/25+9/25=13/25. A alternativa 3/5=15/25 ainda tem chance maior, por 2/25. Não se usa apenas a chance do primeiro ramo.

Alinhamento curricular e fontes

BNCC, 9º ano, EF09MA20 (p. 319). Recorte editorial: comparar protocolos por eventos discriminantes e distinguir chance marginal de dependência entre duas retiradas. Não cobre todas as habilidades do ano. · Base Nacional Comum Curricular

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Praticar isto: Distinguir eventos dependentes e independentes