Classe seconda, secondaria di primo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Descrivere lo spazio degli esiti di una singola estrazione.
- Calcolare una probabilità in un modello con esiti equiprobabili.
- Riconoscere che un evento e il suo complemento coprono tutti gli esiti senza sovrapporsi.
Prima di iniziare
- Frazione come parte di un totale
- Contare oggetti in gruppi
L'idea centrale
Sul tavolo ci sono sei gettoni: due rossi punteggiati, due blu rigati e due verdi a reticolo. Immaginiamo di inserirli tutti in un sacchetto opaco, mescolarli e prenderne uno senza guardare. Ogni gettone singolo è un esito possibile; i colori sono eventi che raccolgono due esiti ciascuno. L'immagine mostra i sei gettoni sul tavolo, ma non dimostra che l'estrazione reale sia casuale: questa è una regola del modello.
- Regola e condizioni
- Se i sei gettoni hanno uguale possibilità di essere estratti, P(rosso) = 2/6 = 1/3. Il complemento di «rosso» è «non rosso»: comprende due blu e due verdi, quindi P(non rosso) = 4/6 = 2/3. Le probabilità dell'evento e del suo complemento sommano a 1.
Passo per passo
- Dichiara l'esperimento e tutte le condizioni: un'estrazione senza guardare, sei gettoni equiprobabili.
- Conta gli esiti favorevoli e quelli totali.
- Scrivi la frazione favorevoli/totali e, se utile, semplificala.
- Per il complemento conta gli esiti non favorevoli oppure sottrai la prima probabilità da 1.
Esempio svolto
Qual è la probabilità di non pescare un gettone verde?
- I verdi sono due su sei: P(verde) = 2/6.
- I non verdi sono quattro: due rossi e due blu.
- P(non verde) = 4/6 = 2/3, anche 1 − 2/6 = 4/6.
- Controllo: P(verde) + P(non verde) = 2/6 + 4/6 = 1.
2/3 nel modello equiprobabile.
Errore da evitare
Dire che «rosso» e «blu» sono complementari: restano anche i due verdi. Il complemento di rosso è qualunque esito non rosso.
Per capire meglio
- Due estrazioni consecutive cambiano l'esperimento. Senza reinserire il primo gettone, il secondo totale sarebbe cinque e non sei; qui studiamo soltanto un'estrazione.
- L'illustrazione rappresenta sei gettoni visibili, due per colore, con texture diverse. La probabilità deriva inoltre dall'ipotesi testuale di equiprobabilità.
- Il DM 254/2012 fissa l'obiettivo al termine della terza media, non questo modello né l'anno preciso.
Prova subito
Quanti esiti elementari ci sono se ciascun gettone è distinguibile?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Sei, uno per ciascun gettone.
Due gettoni dello stesso colore restano due oggetti/esiti distinti.
Calcola P(blu) per una sola estrazione equiprobabile.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 2/6 = 1/3.
Due gettoni blu su sei.
Qual è il complemento dell'evento «rosso» e la sua probabilità?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: «Non rosso»: blu o verde, 4/6 = 2/3.
Il complemento comprende tutti gli esiti esclusi dai rossi.
Un compagno dice che «verde» e «rosso» sono complementari. Correggi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No: esistono anche i blu. Il complemento di verde è rosso oppure blu.
I complementari devono coprire tutto lo spazio degli esiti.
Perché non possiamo usare automaticamente 2/6 se il sacchetto lascia vedere il colore durante la scelta?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: La scelta potrebbe non essere casuale o equiprobabile; la frazione richiede l'ipotesi dichiarata.
Una conta dei gettoni non basta a garantire le probabilità del processo reale.
Allineamento curricolare e fonti
- it-dm-254-2012; obiettivi it-2012-mat-m3-41, it-2012-mat-m3-42; traguardo dichiarato media-3. Il DM 254/2012 fissa l'obiettivo al termine della terza media, non questo modello né l'anno preciso. · DM 254/2012 · Indicazioni nazionali per il curricolo del primo ciclo
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Esercitarsi su questo: Estrarre un gettone: evento e complemento