Classe terza, secondaria di primo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Calcolare una probabilità semplice con esiti equiprobabili.
- Distinguere probabilità teorica e frequenza su prove finite.
- Riconoscere evento complementare nel caso di due colori.
Prima di iniziare
- Frazioni
- Conteggio e tabella
L'idea centrale
La pittura mostra un sacchetto e gettoni di due colori, ma non consente di stabilire quanti siano dentro né se tutti possano essere pescati con la stessa possibilità. Nel caso scritto, il sacchetto contiene esattamente tre gettoni blu e due gialli, identici per forma e ben mescolati. Se si estrae un gettone senza guardare, i cinque esiti elementari si assumono equiprobabili. «Esce blu» comprende tre esiti; «esce giallo» due. La griglia serve a registrare risultati di prove ripetute, non a cambiare le quantità dichiarate.
- Regola e condizioni
- Se gli esiti elementari sono equiprobabili, P(evento)=casi favorevoli/casi possibili. Qui P(blu)=3/5 e P(giallo)=2/5; sono eventi complementari perché ogni estrazione dà un colore o l'altro e non entrambi. In n prove, la frequenza relativa è numero di successi/n: può differire dalla probabilità teorica, soprattutto per n piccolo. Se rimetti il gettone dopo ogni estrazione, l'inventario torna uguale; senza reinserimento cambia dopo la prima prova.
Passo per passo
- Fissa il contenuto del sacchetto dal testo, non dall'acquerello.
- Specifica regola dell'estrazione ed equiprobabilità.
- Conta casi favorevoli e casi possibili, poi semplifica la frazione.
- Per i dati sperimentali, calcola frequenza relativa e confrontala senza pretendere uguaglianza esatta.
Esempio svolto
Nel sacchetto descritto, con 3 blu e 2 gialli, qual è P(blu)? In 20 estrazioni con reinserimento si osservano 11 blu: frequenza relativa?
- Totale dichiarato: 3+2=5 gettoni equiprobabili; blu favorevoli 3.
- P(blu)=3/5=0,6, cioè 60% nel modello.
- Frequenza osservata: 11/20=0,55, cioè 55%.
- Controllo: 0,6 e 0,55 non sono la stessa misura; nessun conteggio proviene dal disegno.
Probabilità teorica 3/5; frequenza osservata 11/20. I due valori possono differire.
Errore da evitare
Dire che esattamente 12 delle 20 prove devono dare blu perché 3/5 di 20 fa 12: la probabilità non impone una frequenza fissa in un campione finito.
Per capire meglio
- Se gli esiti elementari sono equiprobabili, P(evento)=casi favorevoli/casi possibili. Qui P(blu)=3/5 e P(giallo)=2/5; sono eventi complementari perché ogni estrazione dà un colore o l'altro e non entrambi. In n prove, la frequenza relativa è numero di successi/n: può differire dalla probabilità teorica, soprattutto per n piccolo. Se rimetti il gettone dopo ogni estrazione, l'inventario torna uguale; senza reinserimento cambia dopo la prima prova.
- Separare inventario dichiarato, modello equiprobabile e frequenza osservata in un gioco con gettoni.
- Gli obiettivi nazionali sono di fine terza media; l'ordine interno e i casi didattici sono scelte editoriali.
Prova subito
Con 3 blu e 2 gialli dichiarati, qual è P(giallo)?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 2/5.
Due casi favorevoli su cinque.
P(blu)+P(giallo) quanto vale nel caso a due colori?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 1.
Gli eventi sono complementari ed esauriscono gli esiti.
In 10 prove con reinserimento escono 7 blu: frequenza relativa?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 7/10=0,7.
Si divide successi per prove, non per gettoni nel sacchetto.
«Se P(blu)=3/5, in ogni gruppo di 5 prove escono 3 blu»: corretto?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No: è possibile una frequenza diversa in poche prove.
La probabilità descrive il modello, non una quota garantita per blocco.
Il numero esatto di gettoni nel sacchetto dipinto è noto?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No: lo stabilisce solo l'enunciato del caso.
La pittura non è un inventario verificato.
Allineamento curricolare e fonti
- it-dm-254-2012; obiettivi it-2012-mat-m3-40, it-2012-mat-m3-41, it-2012-mat-m3-42; traguardo dichiarato media-3. Gli obiettivi nazionali sono di fine terza media; l'ordine interno e i casi didattici sono scelte editoriali. · DM 254/2012 · Indicazioni nazionali per il curricolo del primo ciclo
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Esercitarsi su questo: Gettoni, frequenze e probabilità di un evento