Classe terza, secondaria di primo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Individuare la base rispetto a cui si calcola una percentuale.
- Calcolare una variazione e il valore finale con fattore decimale.
- Spiegare perché due variazioni successive non si annullano sempre.
Prima di iniziare
- Frazioni decimali
- Moltiplicazione con numeri decimali
L'idea centrale
L'acquerello mostra uno zaino, un cartellino vuoto e due pile di gettoni di altezza diversa. Non conosciamo i prezzi o il numero esatto dei gettoni: i dati matematici appartengono al problema scritto. Una percentuale indica una parte rispetto a una base di cento. Dire «15% di sconto» ha senso solo dopo aver identificato il prezzo iniziale a cui si applica lo sconto. Il prezzo finale non è la percentuale, ma il valore iniziale diminuito dell'importo calcolato.
- Regola e condizioni
- Per trovare p% di una base B, calcola B×p/100. Una diminuzione del p% porta a B×(1−p/100); un aumento porta a B×(1+p/100). Quando le variazioni sono successive, la seconda usa come base il nuovo valore, non quello originario. Per questo una diminuzione del 20% seguita da un aumento del 20% non ripristina il valore iniziale: 0,8×1,2=0,96.
Passo per passo
- Scrivi la base con la sua unità e chiarisci se il prezzo è prima o dopo la variazione.
- Trasforma la percentuale in frazione su cento o fattore decimale.
- Calcola variazione e valore finale senza arrotondare prima del necessario.
- Controlla che uno sconto dia un prezzo minore e un aumento uno maggiore; specifica la nuova base se c'è una seconda variazione.
Esempio svolto
Uno zaino costa 80 €. Il negozio applica uno sconto del 15%. Quanto si paga?
- La base è il prezzo iniziale: 80 €.
- Lo sconto è 80×0,15=12 €.
- Il prezzo finale è 80−12=68 €, oppure 80×0,85=68 €.
- Controllo: 68 € è minore di 80 € e la differenza di 12 € è il 15% di 80 €. Il disegno non fornisce nessuno di questi numeri.
Si pagano 68 €.
Errore da evitare
Togliere 15 € perché lo sconto è 15%: percentuale e importo in euro sono grandezze diverse.
Per capire meglio
- Per trovare p% di una base B, calcola B×p/100. Una diminuzione del p% porta a B×(1−p/100); un aumento porta a B×(1+p/100). Quando le variazioni sono successive, la seconda usa come base il nuovo valore, non quello originario. Per questo una diminuzione del 20% seguita da un aumento del 20% non ripristina il valore iniziale: 0,8×1,2=0,96.
- Applicare percentuali e variazioni a dati dichiarati, senza leggere quantità dalle pile dipinte.
- Gli obiettivi nazionali sono di fine terza media; l'ordine interno e i casi didattici sono scelte editoriali.
Prova subito
Il cartellino dipinto permette di leggere il prezzo dello zaino o la percentuale di sconto?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No: è vuoto e le pile non sono una scala numerica.
I dati provengono dall'enunciato scritto.
Una felpa costa 40 €. Quanto vale uno sconto del 25% e quale è il prezzo finale?
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Risposta: Sconto 10 €; prezzo finale 30 €.
40×0,25=10 e 40−10=30.
Una quota di 50 € aumenta del 10%. Qual è il nuovo valore?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 55 €.
50×1,10=55.
Un prezzo di 100 € scende del 20% e poi risale del 20% sul nuovo prezzo. Quanto vale alla fine?
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Risposta: 96 €.
100×0,8×1,2=96; la seconda base è 80 €.
Un compagno dice: «il 15% di 80 € è 15 €». Correggi con il calcolo.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Il 15% di 80 € è 12 €.
15/100×80=12; il simbolo % significa su cento.
Allineamento curricolare e fonti
- it-dm-254-2012; obiettivi it-2012-mat-m3-07, it-2012-mat-m3-08; traguardo dichiarato media-3. Gli obiettivi nazionali sono di fine terza media; l'ordine interno e i casi didattici sono scelte editoriali. · DM 254/2012 · Indicazioni nazionali per il curricolo del primo ciclo
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Esercitarsi su questo: Percentuali: distinguere base, sconto e prezzo finale