Classe terza, secondaria di primo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Riconoscere i due cateti e l'ipotenusa in una rampa.
- Calcolare un lato incognito con quadrati e radice positiva.
- Verificare unità e plausibilità del risultato.
Prima di iniziare
- Triangolo rettangolo
- Quadrato e radice quadrata di interi piccoli
L'idea centrale
La rampa illustrata, il pavimento e l'altezza della piattaforma formano un modello di triangolo rettangolo. Il pavimento e l'altezza sono perpendicolari: sono i cateti. La rampa è opposta all'angolo retto ed è l'ipotenusa, sempre il lato più lungo. La figura non è una misura: i numeri del problema vanno letti nell'enunciato, non stimati dai pixel.
- Regola e condizioni
- Se a e b sono i cateti e c l'ipotenusa, allora a² + b² = c². Per trovare c si calcola √(a²+b²); per trovare un cateto si sottrae il quadrato dell'altro da c² e si prende la radice positiva. Il teorema vale per triangoli rettangoli e per lunghezze espresse nella stessa unità.
Passo per passo
- Verifica che ci sia un angolo retto e individua il lato opposto.
- Scrivi l'uguaglianza dei quadrati indicando le unità.
- Calcola prima quadrati e somma o differenza, poi la radice.
- Controlla che l'ipotenusa sia più lunga di ciascun cateto e torna al contesto.
Esempio svolto
Nel modello, la piattaforma è alta 3 m e il tratto orizzontale misura 4 m. Quanto misura la rampa, supposta rettilinea?
- I cateti sono 3 m e 4 m; la rampa è l'ipotenusa.
- c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 m².
- c = √25 m = 5 m.
- Controllo: 5 m supera sia 3 m sia 4 m. Le misure sono del problema, non del disegno.
La rampa del modello misura 5 m.
Errore da evitare
Calcolare 3+4=7 come lunghezza della rampa: il teorema somma i quadrati, non direttamente i lati.
Per capire meglio
- Se a e b sono i cateti e c l'ipotenusa, allora a² + b² = c². Per trovare c si calcola √(a²+b²); per trovare un cateto si sottrae il quadrato dell'altro da c² e si prende la radice positiva. Il teorema vale per triangoli rettangoli e per lunghezze espresse nella stessa unità.
- Applicare il teorema a misure esplicite, distinguendo modello geometrico e illustrazione non in scala.
- Gli obiettivi nazionali sono di fine terza media; l'ordine interno e i casi didattici sono scelte editoriali.
Prova subito
Nell'illustrazione quali due direzioni formano l'angolo retto e quale oggetto è la diagonale?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Pavimento orizzontale e altezza verticale formano l'angolo retto; la rampa è la diagonale.
La figura sostiene la scelta dei lati, ma non dà misure.
Un triangolo rettangolo ha cateti 6 cm e 8 cm. Trova l'ipotenusa.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: √(6²+8²)=√100=10 cm.
L'ipotenusa è più lunga di entrambi i cateti.
L'ipotenusa è 13 cm e un cateto 5 cm. Trova l'altro cateto.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: √(13²−5²)=√144=12 cm.
Si sottraggono i quadrati perché il lato ignoto è un cateto.
Un compagno ottiene 7 m per la rampa dell'esempio facendo 3+4. Spiega e correggi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 7 m è la somma dei cateti; la rampa misura √(9+16)=5 m.
La relazione corretta riguarda i quadrati dei lati.
Una rampa rettilinea supera 1,5 m di altezza in 2 m orizzontali. Quanto è lunga?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: √(1,5²+2²)=√6,25=2,5 m.
Entrambe le misure sono in metri; la diagonale supera 2 m.
Allineamento curricolare e fonti
- it-dm-254-2012; obiettivi it-2012-mat-m3-26; traguardo dichiarato media-3. Gli obiettivi nazionali sono di fine terza media; l'ordine interno e i casi didattici sono scelte editoriali. · DM 254/2012 · Indicazioni nazionali per il curricolo del primo ciclo