Classe terza, secondaria di primo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Calcolare il rapporto fra due grandezze corrispondenti.
- Riconoscere quando il rapporto resta costante.
- Rappresentare coppie proporzionali sul piano cartesiano.
Prima di iniziare
- Divisione e frazioni equivalenti
- Coordinate nel primo quadrante
L'idea centrale
La figura mostra bicchieri con liquidi a livelli differenti, ma non presenta volumi misurati né coppie confrontabili. Per decidere se due grandezze sono direttamente proporzionali servono dati: a ogni valore x si associa un valore y e si verifica se y/x è lo stesso per tutti gli x diversi da zero. In un contesto di ricetta, x può essere il numero di porzioni e y il volume d'acqua richiesto. Se ogni porzione richiede la stessa quantità, raddoppiare le porzioni raddoppia l'acqua.
- Regola e condizioni
- La proporzionalità diretta si scrive y=kx, con k costante. Per dati non nulli, y/x=k; nel piano cartesiano i punti della relazione stanno su una retta che passa per l'origine. Due sole coppie compatibili non dimostrano che ogni situazione reale obbedisca alla regola: va controllato il campo di validità. Se y resta fisso mentre x cambia, la relazione non è direttamente proporzionale.
Passo per passo
- Definisci x, y e le loro unità.
- Dividi ogni y per il corrispondente x, evitando x=0.
- Se i rapporti coincidono, scrivi la regola y=kx per i dati osservati.
- Traccia i punti dichiarati e verifica l'allineamento con l'origine; non prolungare senza giustificazione oltre il contesto.
Esempio svolto
Una ricetta ipotetica usa 150 ml d'acqua per una porzione, 300 ml per due e 450 ml per tre. È proporzionale per questi dati?
- Le coppie sono (1,150), (2,300), (3,450).
- I rapporti sono 150/1=150, 300/2=150 e 450/3=150 ml per porzione.
- Per i dati la regola è y=150x; i punti sono allineati con l'origine.
- Controllo: Con x=2 la formula dà 300 ml. Non si deducono questi volumi dall'acquerello.
Sì, i dati seguono una proporzionalità diretta con k=150 ml per porzione.
Errore da evitare
Confrontare 150, 300 e 450 senza dividere per le porzioni e concludere che la costante cambia.
Per capire meglio
- La proporzionalità diretta si scrive y=kx, con k costante. Per dati non nulli, y/x=k; nel piano cartesiano i punti della relazione stanno su una retta che passa per l'origine. Due sole coppie compatibili non dimostrano che ogni situazione reale obbedisca alla regola: va controllato il campo di validità. Se y resta fisso mentre x cambia, la relazione non è direttamente proporzionale.
- Verificare proporzionalità con coppie date e costruire punti cartesiani, senza ricavare rapporti dai bicchieri dipinti.
- Gli obiettivi nazionali sono di fine terza media; l'ordine interno e i casi didattici sono scelte editoriali.
Prova subito
La pittura dei bicchieri permette di sapere che il rapporto fra volumi è costante?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No: mancano misure e corrispondenze esplicite.
La proporzionalità si verifica con dati, non con il colore.
Per (x,y)=(2,8) e (4,16), calcola y/x in entrambe.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 8/2=4 e 16/4=4: i rapporti coincidono.
Per queste due coppie k=4.
Le coppie (1,3), (2,6), (3,8) seguono tutte y=3x?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No: 8/3 non è 3; per x=3 servirebbe y=9.
Una coppia contraria basta a smentire la regola per la tabella.
Se y=2x, quali punti corrispondono a x=0, 1 e 3?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (0,0), (1,2), (3,6).
Sostituisci ogni x nella formula.
Se x sono porzioni e y millilitri, quale unità ha k?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Millilitri per porzione.
È il rapporto y/x.
Allineamento curricolare e fonti
- it-dm-254-2012; obiettivi it-2012-mat-m3-37, it-2012-mat-m3-38; traguardo dichiarato media-3. Gli obiettivi nazionali sono di fine terza media; l'ordine interno e i casi didattici sono scelte editoriali. · DM 254/2012 · Indicazioni nazionali per il curricolo del primo ciclo
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Esercitarsi su questo: Rapporti costanti e punti sul grafico