Classe prima, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Risolvere disequazioni lineari spiegando l'inversione del verso quando si moltiplica per un numero negativo.
Prima di iniziare
- Lettura di una fonte
- Descrizione di una figura
Dall'uguaglianza a un insieme di valori
Una disequazione chiede quali valori rendano vera una relazione come x>2 o 3x+1≤10. Di solito la risposta non è un numero isolato, ma un insieme. In x≥2, il valore 2 è incluso; in x>2 è escluso. Questo piccolo segno cambia il confine della soluzione. Si può leggere il risultato sulla retta reale o scriverlo come condizione; l'importante è distinguere l'estremo e il verso. La bilancia inclinata dell'immagine suggerisce un confronto, ma non codifica il simbolo < o > di una consegna né masse precise. La direzione vera della disuguaglianza viene soltanto dal testo matematico stampato. In un problema applicato, un prezzo o una quantità intera può restringere ulteriormente l'insieme: x≥2,5 biglietti non significa che si possano acquistare frazioni di biglietto.
Operazioni che conservano il verso
Aggiungere o sottrarre lo stesso numero ai due membri conserva una disuguaglianza. Se 4<7, allora 4+3<7+3 e 4−2<7−2. Anche moltiplicare o dividere per un numero positivo conserva il verso. Per esempio 2x<8 equivale a x<4 dopo divisione per 2. Si può spiegare il passaggio con la retta numerica: una scala positiva dilata o restringe le distanze senza ribaltare l'ordine. Come nelle equazioni, è meglio scrivere quale operazione si applica a entrambi i membri anziché dire che un termine «passa dall'altra parte». La scorciatoia può nascondere il caso in cui si divide per un numero negativo e il verso deve cambiare. Ogni riga della soluzione deve essere equivalente alla precedente nel dominio dichiarato.
Perché un fattore negativo inverte l'ordine
Se 2<5, moltiplicando per −1 si ottiene −2>−5. Il numero che era più a destra sulla retta diventa più a sinistra dopo il cambio di segno. Perciò, quando si moltiplica o divide una disequazione per un numero negativo, < diventa > e ≤ diventa ≥, o viceversa. In −2x<6, dividere per −2 dà x>−3. Se ci dimenticassimo l'inversione, x=0 verrebbe escluso dalla falsa risposta x<−3, benché −2×0<6 sia vero. Il controllo di un valore è utile, ma non sostituisce la regola: un solo valore provato non dimostra l'intero insieme. Si può usare un valore ammesso e uno escluso per scoprire gli errori più evidenti, poi riportare la soluzione generale.
Modello risolto e verifica del confine
Risolviamo −3x+2≤11. Primo passo: sottraiamo 2 a entrambi i membri e otteniamo −3x≤9. Secondo: dividiamo per −3, dunque invertiamo il verso e otteniamo x≥−3. Terzo: controlliamo valori ai due lati del confine e l'estremo. Per x=0, il primo membro originale vale 2 e 2≤11 è vero. Per x=−4 vale 14 e 14≤11 è falso. Per x=−3 vale 11, che è incluso perché il simbolo è ≤ nella frase iniziale. Questa terza verifica conferma anche che l'estremo appartiene alla soluzione. La risposta può essere scritta x≥−3 oppure, nel dominio reale, [−3,+∞). La parentesi quadra comunica l'inclusione di −3; all'infinito la parentesi è aperta perché non è un numero raggiunto.
Intervalli e intersezione di condizioni
Se un problema richiede contemporaneamente x>1 e x≤5, si prendono i valori che soddisfano entrambe: 1<x≤5. Non si sommano le condizioni e non si sceglie quella che sembra più semplice. Sulla retta, l'intersezione è il tratto comune, aperto in 1 e chiuso in 5. Se le condizioni fossero x>5 e x<1, l'intersezione sarebbe vuota. Questo modo di ragionare aiuta anche con disequazioni composte, ma bisogna precisare se il testo chiede «e» oppure «o». Con «o» si prende l'unione degli insiemi. In un contesto di posti a sedere, x deve essere intero non negativo; allora 1<x≤5 permette 2, 3, 4 o 5 posti, non tutti i reali dell'intervallo. La restrizione viene dal significato della variabile e va dichiarata.
Errori di segno, dominio e controllo
Un errore frequente è trasformare −x≥2 in x≥−2. Il calcolo corretto moltiplica per −1 e inverte: x≤−2. La prova x=0 rende visibile il problema: nell'originale 0≥2 è falso, ma 0 soddisferebbe la risposta errata. Un altro errore è dividere per un'espressione variabile senza conoscerne il segno. Da ax>1 non si può dividere per a e scegliere il verso senza sapere se a è positivo, negativo o zero. La lezione tratta coefficienti numerici noti, così la scelta è determinata. Se un passaggio apre parentesi, la distributiva deve valere per tutti i termini. Se si sommano o sottraggono termini, si fa la stessa cosa ai due membri. La sostituzione di valori di prova individua difetti, ma la spiegazione algebrica resta necessaria per giustificare tutto l'insieme.
Interpretare una soglia nel contesto
Supponiamo che un laboratorio possa usare al massimo 24 unità di materiale e ogni campione ne richieda 3. La condizione è 3x≤24 e porta a x≤8; se x conta campioni, inoltre x è un intero non negativo. La risposta applicata è quindi da 0 a 8 campioni interi, secondo le altre condizioni del problema. Dire soltanto x≤8 includerebbe numeri negativi nel dominio reale, che non hanno senso come numero di campioni. Viceversa, non bisogna imporre interezza quando x misura una lunghezza che può assumere valori continui. Per presentare una soluzione completa, si scrivono relazione iniziale, passaggi equivalenti, insieme matematico e interpretazione della variabile. La bilancia illustrata non decide il limite 24 né il consumo 3: sono dati della consegna. Un risultato finale plausibile si può controllare sostituendo il valore di confine e uno oltre la soglia. Le parole della consegna vanno tradotte con attenzione: «al massimo» include il limite e suggerisce ≤; «meno di» lo esclude e suggerisce <. Cambiare uno di questi segni altera il numero dei valori ammessi, anche quando tutti i passaggi algebrici successivi sono corretti. Per questo il controllo comincia già dalla lettura del problema.
Esempio ragionato
Risolvi −3x+2≤11 e controlla un valore ammesso e uno escluso.
- Sottraggo 2: −3x≤9.
- Divido per −3 invertendo il verso: x≥−3.
- Controllo x=0: 2≤11 vero; x=−4: 14≤11 falso.
L'insieme soluzione è x≥−3.
Errore da evitare
Dimenticare di invertire il verso dopo divisione per un numero negativo.
Fonte e sequenza
- Il DM 211/2010 indica il primo biennio; la collocazione in questa classe è editoriale.
- Metafora del confronto; il verso dell'esercizio si legge nel testo.
Prova subito
Risolvi −4x+5<17, spiega il verso dopo la divisione e controlla x=0 e x=−4 nell'espressione iniziale.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x>−3; x=0 è ammesso e x=−4 è escluso.
−4x<12; dividendo per −4 si inverte il verso. Per 0 si ha 5<17; per −4 si ha 21<17, falso.
Risposta: x>−3; x=0 è ammesso e x=−4 è escluso.
−4x<12; dividendo per −4 si inverte il verso. Per 0 si ha 5<17; per −4 si ha 21<17, falso.
Risolvi 2(x−1)≥3x−7 e verifica se il valore di confine appartiene alla soluzione.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x≤5; x=5 è incluso.
2x−2≥3x−7 conduce a 5≥x. Per x=5, entrambi i membri originali valgono 8.
Risposta: x≤5; x=5 è incluso.
2x−2≥3x−7 conduce a 5≥x. Per x=5, entrambi i membri originali valgono 8.
Trova l'intersezione di x>−2 e x≤4. Scrivila con disuguaglianze e indica quali estremi sono inclusi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: −2<x≤4; −2 escluso e 4 incluso.
L'intersezione contiene soltanto i valori che rispettano entrambe le condizioni.
Risposta: −2<x≤4; −2 escluso e 4 incluso.
L'intersezione contiene soltanto i valori che rispettano entrambe le condizioni.
Un laboratorio dispone di al massimo 35 g di materiale. Ogni campione richiede 4 g. Quanti campioni interi non negativi può produrre? Scrivi anche la disequazione.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 4x≤35; può produrre da 0 a 8 campioni interi.
x≤8,75 nel dominio reale; come numero intero non negativo, il massimo è 8.
Risposta: 4x≤35; può produrre da 0 a 8 campioni interi.
x≤8,75 nel dominio reale; come numero intero non negativo, il massimo è 8.
Uno studente divide −2x≥8 per −2 e scrive x≥−4. Individua il passaggio errato e fornisci la soluzione con un controllo.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Deve invertire il verso: x≤−4. Per x=−5, 10≥8 è vero; per x=0 è falso.
La divisione per un numero negativo ribalta l'ordine.
Risposta: Deve invertire il verso: x≤−4. Per x=−5, 10≥8 è vero; per x=0 è falso.
La divisione per un numero negativo ribalta l'ordine.
Allineamento curricolare e fonti
- Allegato F, primo biennio, righe HTML 1059–1071; collocazione annuale editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Disequazioni di primo grado: verso e insieme soluzione