Classe prima, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Risolvere equazioni lineari con trasformazioni equivalenti e verificare la soluzione per sostituzione.
Prima di iniziare
- Lettura di una fonte
- Descrizione di una figura
Un'uguaglianza che dipende da una variabile
Un'equazione non afferma che due espressioni siano sempre uguali: chiede per quali valori della variabile diventano uguali. In 3x+5=20 il valore x=5 funziona perché 3×5+5=20; x=4 non funziona perché 3×4+5=17. L'insieme delle soluzioni è quindi la risposta, non soltanto un numero scritto dopo una catena di simboli. Nel primo biennio si studiano equazioni di primo grado, nelle quali, dopo le semplificazioni consentite, la variabile compare con potenza uno. La bilancia dell'immagine suggerisce l'idea di equilibrio, ma non mostra masse precise né sostituisce l'equazione stampata. Contare i pesi dipinti per trovare x sarebbe un errore di fonte: i dati utilizzabili sono gli elementi algebrici del testo.
Trasformazioni che conservano le soluzioni
Se a due numeri uguali si aggiunge la stessa quantità, restano uguali. Per questo si può aggiungere o sottrarre lo stesso termine ai due membri di un'equazione. Anche moltiplicare o dividere entrambi per lo stesso numero diverso da zero conserva l'uguaglianza e l'insieme delle soluzioni. È più preciso dire «sottraggo 5 da entrambi i membri» che «sposto il 5 cambiando segno»: la seconda frase è una scorciatoia che nasconde la regola. In 3x+5=20, dopo aver sottratto 5 otteniamo 3x=15; dividendo per 3 otteniamo x=5. Ogni passaggio può essere invertito, perché il divisore 3 è non nullo. La verifica finale sostituisce 5 nell'equazione originale, non solo nell'ultima riga semplificata.
Esempio risolto con controllo
Risolviamo 3x+5=20. Primo passo: 3x+5−5=20−5, dunque 3x=15. Secondo passo: 3x/3=15/3, dunque x=5. Terzo passo: calcoliamo il primo membro della domanda iniziale per x=5; vale 3×5+5=20 e coincide con il secondo. La soluzione è {5}. Se invece una distrazione avesse prodotto x=15, la sostituzione darebbe 50=20, falso: il controllo scoprirebbe subito l'errore. La forma dell'insieme è utile perché non tutte le equazioni hanno una sola soluzione. Anche quando un problema narrativo chiede una misura o un prezzo, il valore algebrico va riportato nell'unità del contesto e verificato rispetto alle condizioni date, per esempio non negatività o numero intero di oggetti.
Ridurre i membri senza cambiare il problema
Prima di isolare x può essere necessario aprire parentesi o raccogliere termini simili. In 2(x+3)=14, la distributiva dà 2x+6=14, quindi 2x=8 e x=4. Una verifica è 2(4+3)=14. In 4x−3=2x+5, sottrarre 2x da entrambi i membri dà 2x−3=5; aggiungere 3 porta a 2x=8 e ancora x=4. Non bisogna moltiplicare soltanto una parte del membro dentro una parentesi: 2(x+3) non è 2x+3. Si annota ogni trasformazione su una riga separata, così è possibile localizzare un errore. Se compaiono frazioni con denominatori numerici non nulli, si può moltiplicare tutta l'equazione per un multiplo comune, rispettando ogni termine di entrambi i membri.
Nessuna soluzione e infinite soluzioni
Una forma 0x=5 non può essere vera per nessun x, perché 0x vale sempre zero. Una forma 0x=0 è vera per ogni valore ammesso della variabile. Questi casi possono nascere da equazioni apparentemente lineari: x+2=x+5 porta a 2=5, contraddizione; x+2=x+2 porta a 2=2, identità. Chiamare entrambe «x=0» sarebbe scorretto. La procedura di isolamento della variabile si ferma quando il suo coefficiente diventa zero: prima di dividere occorre guardare il termine rimasto. Questo controllo serve anche nei problemi applicati. Una condizione impossibile può rivelare dati incompatibili; un'identità può indicare che le informazioni fornite non selezionano un valore unico. Non si inventa una soluzione per riempire la casella della risposta.
Divisioni rischiose e dominio
Dividere per un numero noto non nullo, come 3, è lecito. Dividere per un'espressione che contiene x richiede cautela: potrebbe valere zero proprio per un candidato da considerare. In x(x−2)=0, dividere frettolosamente per x cancellerebbe la soluzione x=0; è meglio usare la proprietà del prodotto nullo, ottenendo x=0 oppure x=2. Questo esempio è fuori dalla forma lineare semplice, ma mostra perché la regola «dividi per ciò che vedi» non è affidabile. Se un'equazione contiene un denominatore x−1, x=1 va escluso dal dominio prima di manipolare. Anche una verifica numerica nell'equazione iniziale aiuta a scoprire candidati estranei introdotti da passaggi non equivalenti. Le trasformazioni sono strumenti con condizioni, non gesti grafici su simboli.
Dal risultato al significato
Per risolvere un problema con un'equazione, definisci chiaramente la variabile. Se x è il numero di biglietti e il totale è 3x+5 euro, la soluzione x=5 non ha unità «euro»: indica cinque biglietti. Dopo il calcolo, torna alla frase iniziale e verifica che cinque biglietti più la quota fissa producano il totale dichiarato. La bilancia illustrata aiuta a ricordare la simmetria delle operazioni, ma non dice quale equazione usare. Se un enunciato ammette più interpretazioni di una quota o di una quantità, bisogna chiarirlo prima di calcolare. Una risposta completa espone la trasformazione equivalente, il controllo per sostituzione e l'interpretazione nel contesto. Così la soluzione non dipende da una regola mnemonica dei segni e resta controllabile anche quando l'equazione cambia forma. In presenza di numeri decimali si può operare direttamente oppure eliminare le virgole moltiplicando entrambi i membri per la stessa potenza di dieci. Per esempio 0,5x+1=4 diventa 5x+10=40 se ogni termine è moltiplicato per 10, e conduce a x=6. Moltiplicare solo 0,5x e lasciare invariato il resto produrrebbe un'altra equazione. Con le frazioni vale la stessa attenzione: in x/3+1/2=5/6, moltiplicare entrambi i membri per 6 dà 2x+3=5, quindi x=1; la sostituzione 1/3+1/2=5/6 conferma. Scrivere esplicitamente la moltiplicazione di ogni termine è più lento di un salto mentale, ma rende la soluzione verificabile e prepara problemi più complessi con la stessa logica.
Esempio ragionato
Risolvi 3x+5=20 e verifica.
- Sottraggo 5 da entrambi i membri: 3x=15.
- Divido entrambi i membri per 3: x=5.
- Sostituisco: 3×5+5=20, uguale al secondo membro.
L'insieme delle soluzioni è {5}.
Errore da evitare
Spostare un termine cambiando segno senza applicare la stessa operazione ai due membri.
Fonte e sequenza
- Il DM 211/2010 indica il primo biennio; la collocazione in questa classe è editoriale.
- Metafora dell'uguaglianza; non inferire masse dai pesi dipinti.
Prova subito
Risolvi 5x−7=18 mostrando le stesse operazioni sui due membri; sostituisci il valore nell'equazione iniziale.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x=5; 5×5−7=18.
Si aggiunge 7 a entrambi i membri: 5x=25; si divide per 5: x=5. La sostituzione conferma.
Risposta: x=5; 5×5−7=18.
Si aggiunge 7 a entrambi i membri: 5x=25; si divide per 5: x=5. La sostituzione conferma.
Risolvi 3(x−2)=2x+4 e verifica il risultato senza saltare l'apertura delle parentesi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x=10; 3(10−2)=24 e 2×10+4=24.
3x−6=2x+4; sottraendo 2x e aggiungendo 6 si ottiene x=10.
Risposta: x=10; 3(10−2)=24 e 2×10+4=24.
3x−6=2x+4; sottraendo 2x e aggiungendo 6 si ottiene x=10.
Classifica 4x+3=4x−2: soluzione unica, nessuna soluzione o infinite soluzioni? Motiva la scelta.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Nessuna soluzione.
Sottraendo 4x resta 3=−2, una contraddizione.
Risposta: Nessuna soluzione.
Sottraendo 4x resta 3=−2, una contraddizione.
Classifica 2(x+1)=2x+2 e indica l'insieme soluzione nel dominio dei numeri reali.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Ogni numero reale è soluzione.
La distributiva dà 2x+2=2x+2, un'identità per ogni x reale.
Risposta: Ogni numero reale è soluzione.
La distributiva dà 2x+2=2x+2, un'identità per ogni x reale.
Un servizio costa 6 euro fissi più 4 euro per ogni visita. Il totale è 30 euro. Definisci x, scrivi l'equazione, risolvi e controlla l'interpretazione.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x è il numero di visite; 6+4x=30; x=6 visite.
4x=24, quindi x=6. Sei visite costano 24 euro più 6 fissi, totale 30.
Risposta: x è il numero di visite; 6+4x=30; x=6 visite.
4x=24, quindi x=6. Sei visite costano 24 euro più 6 fissi, totale 30.
Allineamento curricolare e fonti
- Allegato F, primo biennio, righe HTML 1059–1071; collocazione annuale editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Equazioni di primo grado: equivalenza e controllo