Frazioni equivalenti e unità di riferimento

L'idea centrale

Due scritture possono indicare la stessa quantità: un quarto della medesima striscia equivale a due ottavi. L'unità deve restare identica; confrontare pezzi di interi diversi senza dichiararli è un errore. Il disegno mostra solo un esempio qualitativo. Per verificare l'equivalenza di a/b e c/d, con denominatori non nulli, si confrontano i prodotti incrociati ad e bc.

Prima la stessa unità, poi il confronto

Una frazione a/b, con b diverso da zero, rappresenta a parti quando l'unità è divisa in b parti uguali. Se l'unità cambia, la stessa scrittura può dare quantità assolute diverse: 1/2 di 10 euro vale 5 euro, 1/2 di 18 euro vale 9 euro. L'equivalenza riguarda il rapporto, non garantisce che due pezzi provenienti da interi diversi abbiano la stessa misura. Per confrontare porzioni reali è quindi necessario conoscere anche l'intero di riferimento.

Nel passaggio da 3/4 a 6/8 ogni quarto viene suddiviso in due ottavi: raddoppiano sia le parti prese sia le parti totali e il valore resta invariato. Moltiplicare solo il numeratore o solo il denominatore cambia invece il rapporto. La semplificazione fa il cammino inverso dividendo entrambi per un divisore comune non nullo; quando numeratore e denominatore sono coprimi la frazione è ridotta ai minimi termini. Il disegno delle strisce è qualitativo: la parità dei rapporti si prova con i numeri e con la stessa unità.

Altri casi e trasferimenti

Quando un problema contiene una parte di una parte, non sommare automaticamente numeratori e denominatori. Due terzi di metà torta sono (2/3)·(1/2)=1/3 della torta iniziale: prima metà divide l'intero in due, poi due terzi di quella metà ne prendono due delle sei parti uguali. Se invece mangi metà torta e poi un terzo della torta iniziale, la quantità totale è 1/2+1/3=5/6. Le parole 'di' e 'in più' indicano relazioni diverse; prima di operare, disegna o descrivi l'unità a cui ogni frazione si riferisce. Con 12 fette, il primo caso dà 4 fette, il secondo 10: l'esempio numerico smaschera la confusione.

Per sommare frazioni con denominatori diversi costruisci parti della stessa dimensione. Un quarto più un sesto non è due decimi: 1/4=3/12 e 1/6=2/12, quindi il totale è 5/12. Il denominatore comune 12 funziona perché è multiplo di 4 e 6; il minimo comune multiplo evita numeri inutilmente grandi, ma qualsiasi multiplo comune corretto conserva il valore. Per sottrarre 3/4−1/6 ottieni 9/12−2/12=7/12. Controlla con una stima: 3/4 è 0,75 e 1/6 circa 0,167, dunque il risultato deve stare poco sotto 0,6. L'approssimazione serve a scoprire errori grossi, mentre la frazione 7/12 conserva il valore esatto.

Una scala e una ricetta mostrano perché il rapporto deve accompagnarsi alle unità. Se una ricetta usa 3/4 di litro per quattro persone, per otto persone e con proporzioni costanti occorrono 2·3/4=3/2 litri. Non si cambia il denominatore da 4 a 8: quel 4 indica quarti di litro, non persone. In una scala 1:200, un centimetro sul disegno rappresenta 200 centimetri reali, purché le lunghezze siano espresse nella stessa unità; 3 cm rappresentano 600 cm, cioè 6 m. Le frazioni sono così strumenti per trasferire una relazione, ma la validità della proporzione dipende dall'ipotesi che porzioni e scala restino costanti.

Una frazione può anche essere un operatore. Per trovare 3/5 di 40, dividi 40 in cinque parti uguali, 40/5=8, e prendine tre, 3·8=24. Puoi calcolare direttamente (3/5)·40=24, ma il primo percorso spiega perché funziona. Se la quantità è 41 oggetti indivisibili, 3/5 di 41 vale 24,6 come risultato numerico e non descrive un numero intero di oggetti; il problema deve consentire suddivisioni o precisare un arrotondamento. Il controllo inverso non consiste sempre nel moltiplicare per 5: per risalire all'intero quando 24 è 3/5, dividi prima per 3 e moltiplica per 5, ottenendo 40. Dichiarare quale grandezza è la parte e quale è l'intero evita di applicare la formula giusta alla domanda sbagliata.