Numeri interi: il segno racconta una variazione

L'idea centrale

Un saldo, una temperatura e una quota possono scendere sotto un riferimento scelto come zero. Il segno meno indica allora una posizione inferiore allo zero; in un'operazione può anche indicare una variazione verso valori minori. Sono due ruoli da distinguere. Nell'illustrazione le due direzioni della piazza partono dallo stesso punto: servono a ricordare il verso, non a leggere misure esatte.

Riferimento, stato e variazione

Prima di calcolare, scegli lo zero e la grandezza. Una temperatura di −3 °C è uno stato rispetto allo zero Celsius; una variazione di −3 °C indica invece una diminuzione di tre gradi a partire da qualunque temperatura. Nella stessa operazione il segno meno può indicare il numero negativo, l'operazione di sottrazione oppure l'opposto. Le parentesi rendono visibile quale ruolo ha: 6−(−4) significa partire da 6 e sottrarre la variazione −4, non scrivere due segni senza significato.

Sulla retta orientata un numero maggiore sta più a destra. Perciò −2 è maggiore di −5, benché 5 sia maggiore di 2 come distanza dallo zero. Il valore assoluto |−5|=5 misura la distanza, non il verso. Questa distinzione impedisce di confondere il confronto tra stati con il confronto tra ampiezze. Per un saldo, inoltre, il risultato richiede un'unità: +1 euro non è la stessa grandezza di +1 °C. Il disegno della piazza indica solo due direzioni e non fornisce distanze numeriche.

Altri casi e trasferimenti

Per rappresentare più cambiamenti sulla retta, fissa un punto iniziale e disegna una freccia per ogni variazione: verso destra se positiva, verso sinistra se negativa. Da −2, un aumento di 5 porta a +3; una successiva diminuzione di 7 porta a −4. Il risultato si ottiene anche raggruppando le variazioni: −2+(+5)+(−7)=−4. Se si scambia l'ordine dei due cambiamenti, il saldo finale resta −4 perché l'addizione è commutativa, ma gli stati intermedi cambiano: in un problema che chiede quando il conto va sotto zero l'ordine temporale è dunque essenziale. La stessa distinzione vale per un ascensore che prima sale e poi scende: sapere soltanto il piano di arrivo non racconta il tragitto.

Con la moltiplicazione dei numeri con segno, separa il segno dalla grandezza. Tre perdite di 4 euro si rappresentano con 3·(−4)=−12 euro; il prodotto di due numeri negativi è positivo, ma la frase concreta deve indicare che cosa rappresenta ciascun fattore. Non usare automaticamente (−3)·(−4) per raccontare 'tre perdite': il numero di eventi è 3, non −3. Le regole dei segni si possono controllare con la distributiva: 0=(−3)·[4+(−4)]=(−3)·4+(−3)·(−4); poiché il primo prodotto è −12, il secondo deve essere +12. Questa giustificazione algebrica è più affidabile di una filastrocca di segni senza significato.

Quando due differenze sembrano uguali, formula l'operazione con i ruoli corretti. Da −8 °C a −2 °C la variazione è −2−(−8)=+6 °C; da −2 °C a −8 °C è −8−(−2)=−6 °C. L'ampiezza del cambiamento è 6 °C in entrambi i casi, ma la variazione con segno distingue riscaldamento e raffreddamento. Nelle tabelle di dati, conserva sempre le colonne 'inizio', 'fine', 'fine−inizio' e 'unità': lo schema si trasferisce a quota, saldo e temperatura senza cambiare la regola. Se il testo chiede soltanto 'di quanto differiscono?', il valore assoluto della differenza può essere appropriato; se chiede 'come varia?', il segno non si può perdere.

Per controllare un problema senza ripetere lo stesso calcolo, costruisci un percorso inverso. Se da −6 aggiungi 9 e poi togli 4, arrivi a −1; dal risultato, aggiungi 4 e togli 9 per tornare a −6. Questo controllo indipendente prova che non hai perso uno dei cambiamenti. Non confondere però il percorso inverso con il cambio di segno del solo risultato: da −1 non torni a −6 scrivendo +1. Se compare un testo come 'il debito diminuisce di 4 euro', prima traduci la frase: un debito di 10 euro è saldo −10; diminuirlo di 4 porta il saldo a −6, quindi la variazione del saldo è +4. Il sostantivo 'debito' e il verbo 'diminuire' non autorizzano a mettere due meno in modo meccanico. Usa una piccola tabella con debito e saldo per verificare il senso economico.