Classe prima, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Calcolare variazioni percentuali successive e riconoscere la nuova base di ciascuna.
Prima di iniziare
- Lettura di una fonte
- Descrizione di una figura
Ogni variazione ha una base precisa
Dire «aumenta del 20%» è incompleto finché non si conosce il valore a cui si applica la percentuale. Se il prezzo iniziale è 50 euro, il 20% di 50 è 10 euro e il nuovo prezzo è 60. Se poi si riduce il prezzo del 10%, la seconda base è 60 e lo sconto è 6 euro, non 5. Il prezzo finale è 54 euro. Questo è il punto centrale delle variazioni successive: il risultato di un passaggio diventa la base del successivo. I cartellini vuoti dell'illustrazione alludono a cambi di prezzo ma non mostrano importi verificabili. Tutti i dati numerici delle attività si leggono nel testo. Le percentuali possono riguardare anche popolazioni, misure o quantità di materiale; il metodo aritmetico è lo stesso, ma la realtà descritta deve rendere sensate le operazioni.
I fattori rendono visibile il procedimento
Un aumento del 25% porta una quantità al 125% del valore precedente, cioè la moltiplica per 1,25. Una diminuzione del 20% la porta all'80%, cioè la moltiplica per 0,80. Per più variazioni si moltiplicano i fattori nell'ordine dei passaggi. In un prezzo di 80 euro seguito da +25% e −20%, il calcolo è 80×1,25×0,80=80. Il risultato torna qui al prezzo iniziale perché 1,25×0,80=1. Non bisogna estendere questo esito a coppie di percentuali con lo stesso valore assoluto: +20% e −20% danno 1,20×0,80=0,96, dunque una diminuzione netta del 4%. Il prodotto dei fattori permette di confrontare il finale con l'inizio senza arrotondare dopo ogni riga.
Modello guidato: due passaggi e una verifica
Consideriamo il prezzo iniziale di 80 euro che sale del 25% e poi scende del 20%. Primo passo: calcoliamo 80×1,25=100 euro; il primo aumento vale 20 euro. Secondo: lo sconto si applica a 100 euro, quindi 100×0,80=80 euro; il secondo cambiamento vale ancora 20 euro, ma è il 20% di una base diversa. Terzo: confrontiamo finale e inizio, 80−80=0, cioè 0% di variazione netta. Il calcolo si controlla anche con 1,25×0,80=1. Se qualcuno somma +25 e −20 e conclude +5%, ignora che il 20% non è stato calcolato su 80. La risposta completa contiene sia il prezzo finale sia la variazione netta, e specifica sempre a quale base si riferiscono le percentuali intermedie.
Una percentuale di ritorno è diversa
Se una quantità di 100 euro aumenta del 20%, arriva a 120. Per tornare a 100 non basta ridurre del 20%: il 20% di 120 è 24, quindi il risultato sarebbe 96. La riduzione richiesta è 20 euro su una base di 120, cioè 20/120=1/6, circa 16,67%. Questo esempio mostra che una variazione inversa non ha in genere lo stesso numero percentuale della variazione originale. In forma generale, se il primo fattore è 1,20, il fattore di ritorno è 1/1,20=5/6, non 0,80. È utile distinguere «tornare al valore precedente» da «applicare uno sconto con la stessa cifra percentuale». In una risposta arrotondata, conviene mantenere la frazione esatta finché possibile e dichiarare come è stato arrotondato il valore finale.
Variazione netta e confronto con l'inizio
Il prodotto dei fattori dà il rapporto fra valore finale e iniziale. Se il prodotto è 1,08, il finale è l'108% dell'inizio: la variazione netta è +8%. Se è 0,93, il finale è il 93% dell'inizio: la variazione netta è −7%. Per passare da un fattore alla variazione percentuale si sottrae 1 e si moltiplica per 100. Bisogna verificare il segno e l'unità: una variazione netta del 7% su 200 euro corrisponde a 14 euro, ma il 7 non è un importo in euro. Le percentuali successive possono produrre un risultato inatteso anche quando la seconda appare «compensare» la prima. Prima di accettare una risposta, controlliamo almeno con un valore semplice, come 100, e poi torniamo al valore reale del problema.
Contesti, arrotondamenti e limiti
I prezzi sono spesso espressi in centesimi. Se i passaggi producono più cifre decimali, occorre conoscere la regola di arrotondamento richiesta: arrotondare dopo ogni passaggio può dare un risultato leggermente diverso dal calcolo con fattori esatti seguito da un solo arrotondamento finale. Un esercizio corretto indica quale convenzione adottare quando la differenza conta. Anche i termini «sconto», «rincaro» e «tassa» richiedono una base definita; non vanno sommati solo perché compaiono nella stessa frase. Per risolvere, scrivi il valore iniziale, costruisci una riga per ogni base nuova, applica il fattore corrispondente e confronta il finale con l'inizio. Per verificare una risposta, rifai il calcolo con il prodotto dei fattori e valuta se il risultato è plausibile: dopo due riduzioni positive il valore non può aumentare. La figura dei cartellini senza numeri non decide nessun prezzo. L'unica fonte quantitativa sono le cifre stampate nell'enunciato. Le parole «percento» e «punti percentuali» non sono intercambiabili. Se la quota di un gruppo passa dal 20% al 25%, aumenta di 5 punti percentuali, mentre l'aumento relativo alla quota iniziale è (25−20)/20=25%. Questa distinzione è utile quando la quantità descritta è già una percentuale. Un testo che dice soltanto «cresce del 5%» non equivale necessariamente a «cresce di 5 punti»: bisogna individuare la base. Inoltre i fattori numerici di due variazioni pure si possono moltiplicare in qualunque ordine per ottenere lo stesso valore finale, perché la moltiplicazione è commutativa; i valori intermedi e la descrizione temporale però cambiano. Se fra i passaggi compare una quota fissa, una soglia o un arrotondamento, il riordino non è più automaticamente innocuo.
Esempio ragionato
Un prezzo di 80 euro aumenta del 25% e poi diminuisce del 20% sul nuovo prezzo. Calcola prezzo finale e variazione netta.
- Applico il primo fattore: 80×1,25=100 euro.
- Applico lo sconto alla nuova base: 100×0,80=80 euro.
- Confronto con l'inizio: 80−80=0 euro, variazione netta 0%.
Il prezzo finale è 80 euro e la variazione netta è 0%; il ritorno dipende dai fattori specifici 1,25 e 0,80.
Errore da evitare
Sottrarre fra loro percentuali successive senza considerare la nuova base.
Fonte e sequenza
- Il DM 211/2010 indica il primo biennio; la collocazione in questa classe è editoriale.
- Mostrare l'idea di cambi di prezzo; importi e percentuali sono testuali.
Prova subito
Un abbonamento termina a 99 euro dopo un aumento del 10% e uno sconto del 25% sul prezzo già aumentato. Ricostruisci il prezzo iniziale e verifica entrambi i passaggi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Il prezzo iniziale era 120 euro; dopo l'aumento era 132 euro e dopo lo sconto 99 euro.
Il fattore complessivo è 1,10×0,75=0,825; 99/0,825=120. Poi 120×1,10=132 e 132×0,75=99.
Risposta: Il prezzo iniziale era 120 euro; dopo l'aumento era 132 euro e dopo lo sconto 99 euro.
Il fattore complessivo è 1,10×0,75=0,825; 99/0,825=120. Poi 120×1,10=132 e 132×0,75=99.
Un prezzo di 200 euro scende del 30%. Quale aumento percentuale, calcolato sul prezzo ridotto, lo riporta esattamente a 200?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 42 6/7% circa, cioè 300/7%.
Il ridotto è 140 euro; bisogna aumentare di 60 su base 140: 60/140=3/7, pari a circa 42,857%.
Risposta: 42 6/7% circa, cioè 300/7%.
Il ridotto è 140 euro; bisogna aumentare di 60 su base 140: 60/140=3/7, pari a circa 42,857%.
Una quota passa dal 12% al 15%. Indica l'aumento in punti percentuali e l'aumento relativo alla quota iniziale.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Aumenta di 3 punti percentuali e del 25% rispetto al 12% iniziale.
15−12=3 punti; 3/12=0,25.
Risposta: Aumenta di 3 punti percentuali e del 25% rispetto al 12% iniziale.
15−12=3 punti; 3/12=0,25.
Un oggetto costa 50 euro e subisce due sconti consecutivi del 10% e del 20%. Calcola il prezzo finale senza sommare le percentuali.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 36 euro.
50×0,90×0,80=36; lo sconto complessivo è 28%, non 30%.
Risposta: 36 euro.
50×0,90×0,80=36; lo sconto complessivo è 28%, non 30%.
Un laboratorio registra un valore 80, poi +15% e −10%. Calcola il finale e spiega perché il segno netto non si decide da 15−10 soltanto.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 82,8; il fattore totale è 1,15×0,90=1,035, quindi +3,5%.
La seconda variazione usa 92 come base: 80×1,15=92 e 92×0,90=82,8.
Risposta: 82,8; il fattore totale è 1,15×0,90=1,035, quindi +3,5%.
La seconda variazione usa 92 come base: 80×1,15=92 e 92×0,90=82,8.
Allineamento curricolare e fonti
- Allegato F, primo biennio, righe HTML 1034–1071; collocazione annuale editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Percentuali successive: la base cambia a ogni passaggio