Classe prima, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Collocare punti con coordinate ordinate e descrivere spostamenti orizzontali e verticali senza confondere gli assi.
Prima di iniziare
- Lettura di una fonte
- Descrizione di una figura
Una posizione descritta da due coordinate
Nel piano cartesiano si scelgono due assi perpendicolari con un'origine comune e una scala. Un punto P si scrive P(x,y): la prima coordinata, detta ascissa, riguarda lo spostamento orizzontale; la seconda, ordinata, quello verticale. La coppia è ordinata: P(2,−3) e Q(−3,2) sono punti diversi. Un numero negativo non rappresenta una distanza «impossibile»; indica il verso rispetto all'origine sull'asse corrispondente. Nel piano consueto, x positivo va a destra e y positivo in alto, mentre i segni negativi indicano sinistra e basso. Questa convenzione va dichiarata in un grafico che possa usare un orientamento differente. Il quaderno quadrettato della figura non mostra punti con coordinate né una scala numerica; nessuna posizione dell'esercizio va stimata dai pixel dell'immagine.
Origine, assi e quadranti
L'origine O ha coordinate (0,0). Un punto con x=0 si trova sull'asse verticale y; uno con y=0 sull'asse orizzontale x. I punti sugli assi non appartengono a uno dei quattro quadranti aperti. Nel primo quadrante entrambe le coordinate sono positive; nel secondo x è negativa e y positiva; nel terzo entrambe sono negative; nel quarto x è positiva e y negativa. Questa classificazione aiuta a scoprire errori di segno, ma non sostituisce il posizionamento numerico. P(0,−4), per esempio, è quattro unità sotto l'origine sull'asse y, non nel quarto quadrante. Se un asse è misurato in secondi e l'altro in metri, le coordinate portano unità diverse e il disegno va letto in base alle etichette. Un grafico senza scala non permette distanze quantitative esatte.
Spostamenti come variazioni separate
Per passare da A(xA,yA) a B(xB,yB), la variazione orizzontale è xB−xA e quella verticale yB−yA. Un movimento di 5 unità a destra aumenta x di 5 senza cambiare y; un movimento di 4 in basso diminuisce y di 4 senza cambiare x. Sono due operazioni distinte e possono essere eseguite in qualsiasi ordine per arrivare allo stesso punto finale, purché i versi siano rispettati. «A destra» non significa sempre rendere x positivo: da x=−7, spostarsi di 3 a destra porta a x=−4, ancora negativo. Analogamente «in basso» può attraversare l'asse x. Quando i quadretti valgono più di un'unità, bisogna distinguere il numero di quadretti dal valore della coordinata: tre quadretti da 2 unità ciascuno rappresentano 6 unità.
Modello guidato da A a B
Partiamo da A(−2,3) e spostiamoci di 5 unità a destra e 4 in basso. Primo passo: la nuova ascissa è −2+5=3. Secondo: la nuova ordinata è 3−4=−1. Terzo: controlliamo sottraendo le coordinate finali dalle iniziali nel verso corretto: B−A=(3−(−2),−1−3)=(5,−4). Dunque B=(3,−1). La differenza (5,−4) descrive il movimento: positivo orizzontale e negativo verticale. Se qualcuno risponde B=(−7,7), ha cambiato entrambi i versi. Se risponde (−1,3), ha scambiato le coordinate. Il controllo con le differenze rende visibile quale passaggio è sbagliato. La griglia dell'immagine non mostra A né B; si possono tracciare su carta usando i dati stampati.
Scala e lettura dei grafici
Un quadretto può valere 1 unità sull'asse x e 2 unità sull'asse y, se il grafico lo dichiara. In tal caso le coordinate non si leggono contando quadretti allo stesso modo sui due assi. Per rappresentare P(4,6), con quella scala si percorrono quattro quadretti a destra e tre in alto. Se la scala fosse raddoppiata sullo schermo, la coppia P(4,6) non cambierebbe; cambierebbero soltanto i centimetri fisici con cui è disegnata. Questa distinzione protegge da una lettura basata su fotografie o immagini ridimensionate. Un grafico utilizzabile deve avere origine, verso positivo e unità o graduazioni leggibili. Quando manca uno di questi elementi, non si può attribuire a un punto un valore esatto soltanto perché sembra vicino a una linea della griglia.
Distanze e direzioni non sono la stessa cosa
La variazione di ascissa può essere negativa, mentre una distanza orizzontale è sempre non negativa: da x=5 a x=2 la variazione è −3, ma la distanza orizzontale è 3. Per il tratto complessivo fra due punti, non basta sommare le differenze con il loro segno; se servisse la distanza euclidea si userebbe un procedimento geometrico distinto. In questa unità interessa soprattutto descrivere la posizione e gli spostamenti lungo gli assi. Una traiettoria può fare più giri e terminare nello stesso punto B: le coordinate iniziali e finali danno lo spostamento netto, non la lunghezza del percorso reale. Questa differenza è utile quando il piano rappresenta luoghi o movimenti. Se il testo non descrive il tragitto, non lo si può ricostruire dalla sola coppia finale.
Verificare una risposta nel suo contesto
Per risolvere, scrivi prima la coppia iniziale nell'ordine x,y. Traduci ogni indicazione in una variazione con segno, aggiorna una coordinata per volta e ricalcola B−A. Per collocare un punto, leggi prima l'ascissa e poi l'ordinata; controlla se il quadrante o l'asse corrisponde ai segni. Se il problema parla di metri, minuti o costi, annota le unità degli assi e non confondere una coordinata con una misura della diagonale. Un punto come (2,0) non «manca» della seconda coordinata: la seconda vale zero. Se il grafico è solo un'illustrazione senza dati, la soluzione deve derivare dai numeri della consegna. Questo metodo prepara lo studio delle relazioni fra grandezze, ma qui non inventiamo una funzione o una traiettoria dal semplice fatto che due punti siano visibili. Quando si confrontano due punti, è utile descrivere separatamente «B è a destra di A» e «B è più in basso di A», indicando anche quante unità su ciascun asse. Queste frasi si controllano con i segni di xB−xA e yB−yA. Se una delle differenze è zero, i punti sono allineati orizzontalmente o verticalmente rispetto agli assi. Non basta che appaiano vicini nella pagina: un asse potrebbe avere una scala diversa dall'altro.
Esempio ragionato
Dal punto A(−2,3) ci si sposta di 5 unità a destra e 4 in basso. Trova B e verifica la differenza di coordinate.
- Aggiorno l'ascissa: −2+5=3.
- Aggiorno l'ordinata: 3−4=−1.
- Controllo B−A=(3−(−2),−1−3)=(5,−4).
B=(3,−1).
Errore da evitare
Invertire x e y o trattare il segno meno come se indicasse distanza negativa.
Fonte e sequenza
- Il DM 211/2010 indica il primo biennio; la collocazione in questa classe è editoriale.
- Contesto grafico; i punti e la scala sono stampati nelle consegne.
Prova subito
Un punto termina in B(3,−3) dopo 7 unità a destra e 5 in basso. Ricostruisci il punto iniziale A e controlla le due differenze di coordinate.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: A=(−4,2); B−A=(7,−5).
L'ascissa iniziale è 3−7=−4; l'ordinata iniziale è −3+5=2. Le differenze confermano lo spostamento.
Risposta: A=(−4,2); B−A=(7,−5).
L'ascissa iniziale è 3−7=−4; l'ordinata iniziale è −3+5=2. Le differenze confermano lo spostamento.
Un grafico dichiara 1 quadretto = 2 unità su x e 1 quadretto = 5 unità su y. Quanti quadretti servono da O per P(6,−10), e in quali versi?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Tre quadretti a destra e due in basso.
6/2=3 sull'asse x; −10/5=−2 sull'asse y.
Risposta: Tre quadretti a destra e due in basso.
6/2=3 sull'asse x; −10/5=−2 sull'asse y.
Confronta P(−3,4) e Q(4,−3). Spiega perché non sono lo stesso punto e colloca ciascuno nel quadrante corretto.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: P è nel secondo quadrante; Q nel quarto. Le coppie ordinate scambiano ascissa e ordinata.
P ha x negativa e y positiva; Q ha x positiva e y negativa.
Risposta: P è nel secondo quadrante; Q nel quarto. Le coppie ordinate scambiano ascissa e ordinata.
P ha x negativa e y positiva; Q ha x positiva e y negativa.
Da A(5,−2) a B(1,−2), calcola variazione orizzontale, variazione verticale e distanza orizzontale.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Variazione orizzontale −4, verticale 0; distanza orizzontale 4 unità.
1−5=−4 e −2−(−2)=0; la distanza è il valore assoluto della variazione orizzontale.
Risposta: Variazione orizzontale −4, verticale 0; distanza orizzontale 4 unità.
1−5=−4 e −2−(−2)=0; la distanza è il valore assoluto della variazione orizzontale.
Un compagno legge (0,−6) come punto del quarto quadrante perché y è negativa. Correggi e spiega il ruolo dello zero.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Il punto è sull'asse y, sei unità sotto l'origine; non appartiene a un quadrante aperto.
x=0 identifica l'asse verticale, indipendentemente dal segno di y.
Risposta: Il punto è sull'asse y, sei unità sotto l'origine; non appartiene a un quadrante aperto.
x=0 identifica l'asse verticale, indipendentemente dal segno di y.
Allineamento curricolare e fonti
- Allegato F, primo biennio, righe HTML 1115–1140; collocazione annuale editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Piano cartesiano: leggere coordinate e spostamenti