Classe prima, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Calcolare probabilità in esperimenti finiti con esiti equiprobabili e riconoscere quando tale ipotesi non è giustificata.
Prima di iniziare
- Lettura di una fonte
- Descrizione di una figura
Esperimento, esiti ed evento
Prima di calcolare una probabilità bisogna definire che cosa si fa e che cosa si osserva. «Estraggo un gettone da un sacchetto» è un esperimento; «esce un gettone verde» è un evento. Se il sacchetto contiene quattro gettoni verdi e sei gialli e ogni gettone ha la stessa possibilità di essere scelto, gli esiti elementari sono dieci gettoni distinti, anche se condividono un colore. Quattro esiti favoriscono il verde, sei il non verde. La formula casi favorevoli diviso casi possibili si applica qui perché l'equiprobabilità è dichiarata. Senza tale ipotesi, il solo conteggio potrebbe non descrivere il meccanismo di estrazione. La figura di un sacchetto con gettoni colorati è contestuale: il numero e il colore dei gettoni dipinti non sono i dati del problema. Si usano soltanto le quantità fornite nell'enunciato.
Il rapporto fra casi e probabilità
Nell'esempio, P(verde)=4/10=2/5 e P(giallo)=6/10=3/5. Le probabilità sono numeri fra zero e uno inclusi: zero descrive un evento impossibile nel modello, uno un evento certo. Come percentuali, 2/5 corrisponde al 40%; non è però «2 gettoni» né una previsione certa che in cinque estrazioni escano esattamente due verdi. La probabilità riguarda la distribuzione degli esiti prima dell'esperimento. Per calcolare correttamente, il denominatore conta tutti gli esiti elementari possibili nelle condizioni indicate, mentre il numeratore conta quelli che realizzano l'evento. Se l'evento è «non verde» e ci sono soltanto verde e giallo, i casi favorevoli sono i sei gialli. Se compare un terzo colore, «non verde» include anche quel colore e il conteggio va aggiornato.
Modello guidato e controllo del complemento
Un sacchetto contiene quattro gettoni verdi e sei gialli indistinguibili al tatto; si estrae un gettone in modo uniforme. Primo passo: conto dieci esiti elementari e quattro favorevoli al verde. Secondo: calcolo P(verde)=4/10=2/5. Terzo: considero l'evento complementare «non verde», che qui coincide con «giallo»; P(non verde)=6/10=3/5. La somma 2/5+3/5=1 controlla che i due eventi coprano tutti gli esiti e non si sovrappongano. Il controllo non sarebbe valido se avessi dimenticato gettoni di un terzo colore, e una somma pari a uno non dimostrerebbe da sola che l'estrazione sia uniforme. La risposta completa conserva la condizione di equiprobabilità e distingue l'evento richiesto dal suo complemento.
Perché l'equiprobabilità va dichiarata
Gettoni con la stessa forma e mescolati bene possono essere modellati come equiprobabili, ma il testo deve precisare questa idealizzazione quando da essa dipende una chiave unica. Se alcuni gettoni sono più pesanti, se vengono scelti guardando dentro il sacchetto oppure se un dispositivo favorisce certi esiti, il rapporto dei conteggi non basta. Un dado con sei facce non è automaticamente equo perché ha sei numeri: la geometria e il lancio possono alterare le probabilità. A livello scolastico, «dado equilibrato» è la condizione che permette di assegnare 1/6 a ciascuna faccia. Il rapporto casi favorevoli/casi possibili vale quando gli esiti elementari scelti sono ugualmente probabili. Se si raggruppano gli esiti in categorie di diversa ampiezza, non si può trattare ogni categoria come se fosse un solo esito equiprobabile.
Con o senza rimessa cambiano i casi
Supponiamo un sacchetto con tre gettoni rossi e due blu. Alla prima estrazione uniforme, P(rosso)=3/5. Se esce un rosso e viene rimesso prima della seconda estrazione, la composizione torna a tre rossi e due blu; la seconda probabilità del rosso è ancora 3/5 nelle stesse condizioni. Se il rosso non viene rimesso, restano due rossi e due blu, quindi alla seconda estrazione P(rosso | primo rosso)=2/4=1/2. Il simbolo verticale significa «dato che» o «sapendo che». Non si può rispondere alla domanda sulla seconda estrazione senza sapere se c'è rimessa e, nel caso senza rimessa, quale colore è uscito per primo. La figura non informa su questi passaggi. L'enunciato deve specificarli, e il diagramma o una tabella può aiutare a tenere aggiornati i conteggi.
Campione osservato e modello teorico
Se estraiamo dieci volte con rimessa e osserviamo sette verdi, la frequenza osservata del verde è 7/10. Questa non modifica automaticamente il dato teorico P(verde)=2/5 del modello dichiarato, né prova da sola che il sacchetto sia diverso: campioni piccoli possono variare. Al contrario, una lunga serie di risultati incompatibili con il modello sarebbe un motivo per riesaminare l'ipotesi di uniformità o la composizione. È importante non confondere una probabilità assegnata prima dell'esperimento con una frequenza misurata dopo. La parola «campione» in questo titolo invita a ragionare su quali osservazioni sono disponibili; non autorizza a stimare il contenuto reale del sacchetto da una singola fotografia. Un esercizio può chiedere una previsione teorica o una frequenza empirica, e la risposta deve nominare quale delle due si sta calcolando.
Una risposta controllabile
Per risolvere, scrivi la descrizione dell'esperimento, l'elenco o il conteggio degli esiti elementari, l'evento richiesto e l'ipotesi di equiprobabilità. Calcola il rapporto, semplificalo e verifica che sia compreso fra zero e uno. Se esiste un complemento semplice, controlla che le due probabilità sommino a uno. Se l'esperimento ha più fasi, aggiorna la composizione dopo ciascuna secondo la presenza o assenza di rimessa. Un risultato superiore a uno segnala un conteggio o un denominatore errato. Un risultato numericamente plausibile può comunque essere ingiustificato se le condizioni non indicano come avviene la scelta. In quel caso si deve dire quali informazioni mancano. Nessun gettone illustrato aggiunge casi al problema; l'immagine aiuta a immaginare l'azione, mentre il testo determina il calcolo e le sue condizioni. La formulazione dell'evento merita la stessa cura del conteggio: «almeno un verde» non significa «esattamente un verde» in un esperimento con più estrazioni. Prima si fissano le parole della domanda, poi si scelgono i casi favorevoli.
Esempio ragionato
Un sacchetto contiene 4 gettoni verdi e 6 gialli indistinguibili al tatto. Se l'estrazione è uniforme, calcola P(verde) e il suo complemento.
- Conto 10 gettoni e 4 favorevoli all'evento verde.
- Calcolo P(verde)=4/10=2/5.
- Il complemento giallo vale 6/10=3/5 e la somma è 1.
P(verde)=2/5; P(non verde)=3/5, sotto l'ipotesi di estrazione uniforme.
Errore da evitare
Applicare casi favorevoli/casi possibili senza stabilire che gli esiti elementari sono equiprobabili.
Fonte e sequenza
- Il DM 211/2010 indica il primo biennio; la collocazione in questa classe è editoriale.
- Contesto di estrazione; non contare gettoni dalla figura per la risposta.
Prova subito
Un sacchetto contiene 5 gettoni rossi, 3 blu e 2 verdi. Se ciascun gettone è equiprobabile, calcola P(non rosso) e controlla con P(rosso).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: P(non rosso)=5/10=1/2; P(rosso)=5/10=1/2; la somma è 1.
I non rossi sono 3+2=5 su 10; sono il complemento dei 5 rossi.
Risposta: P(non rosso)=5/10=1/2; P(rosso)=5/10=1/2; la somma è 1.
I non rossi sono 3+2=5 su 10; sono il complemento dei 5 rossi.
In un sacchetto ci sono 4 gettoni rossi e 2 blu. Ogni prelievo è casuale e ogni gettone rimasto è equiprobabile. Si estrae un rosso senza rimessa. Calcola P(blu alla seconda estrazione | primo rosso).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 2/5.
Dopo il primo rosso restano 3 rossi e 2 blu: due gettoni blu su cinque equiprobabili.
Risposta: 2/5.
Dopo il primo rosso restano 3 rossi e 2 blu: due gettoni blu su cinque equiprobabili.
Un sacchetto contiene 4 gettoni rossi e 2 blu; a ogni prelievo ciascun gettone presente è equiprobabile. Dopo aver estratto un rosso, lo si rimette e si mescola di nuovo. Qual è P(blu alla seconda estrazione)? Confronta con l'estrazione di un rosso senza rimessa.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 2/6=1/3 con rimessa; senza rimessa dopo un rosso era 2/5.
La rimessa ripristina la composizione iniziale di sei gettoni equiprobabili; senza rimessa restano due blu su cinque.
Risposta: 2/6=1/3 con rimessa; senza rimessa dopo un rosso era 2/5.
La rimessa ripristina la composizione iniziale di sei gettoni equiprobabili; senza rimessa restano due blu su cinque.
Un dado è descritto come equilibrato. Calcola la probabilità di ottenere un numero pari e spiega perché la parola equilibrato è necessaria per il metodo dei casi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 3/6=1/2; le facce pari sono 2, 4, 6 e l'equilibrio giustifica l'equiprobabilità delle sei facce.
Senza equiprobabilità il solo numero di facce favorevoli non determina la probabilità.
Risposta: 3/6=1/2; le facce pari sono 2, 4, 6 e l'equilibrio giustifica l'equiprobabilità delle sei facce.
Senza equiprobabilità il solo numero di facce favorevoli non determina la probabilità.
Un'urna ha 2 gettoni bianchi e 8 neri. In dieci estrazioni con rimessa si osservano 4 bianchi. Distingui frequenza osservata e probabilità teorica uniforme del bianco.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Frequenza osservata 4/10=0,4; probabilità teorica 2/10=0,2.
Il campione osservato può differire dalla probabilità del modello, soprattutto con poche prove.
Risposta: Frequenza osservata 4/10=0,4; probabilità teorica 2/10=0,2.
Il campione osservato può differire dalla probabilità del modello, soprattutto con poche prove.
Allineamento curricolare e fonti
- Allegato F, primo biennio, righe HTML 1152–1170; collocazione annuale editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Probabilità elementare: esiti, campione e condizioni