Classe prima, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Riconoscere quando due grandezze hanno rapporto costante e distinguere un modello proporzionale da un semplice aumento.
Prima di iniziare
- Lettura di una fonte
- Descrizione di una figura
Che cosa resta uguale quando cambiano le quantità
Due grandezze sono direttamente proporzionali quando una è ottenuta moltiplicando l'altra per una costante: y=kx. Per ogni valore x diverso da zero, il rapporto y/x è quindi k. La frase «aumentano insieme» è più debole. Due prezzi possono salire nello stesso periodo senza mantenere alcun rapporto costante. Per verificare un modello, occorrono almeno più coppie di misure, le unità e il significato dello zero. In un esempio ideale, 2 porzioni richiedono 3 bicchieri d'acqua e 6 porzioni 9 bicchieri: i rapporti sono 3/2 e 9/6, entrambi 1,5 bicchieri per porzione. La relazione è compatibile con la proporzionalità nei dati osservati. Non dimostra che la ricetta funzionerà per quantità arbitrariamente grandi o piccole: quello è un uso del modello da dichiarare.
La costante porta un'unità
Se y misura grammi di pigmento e x litri d'acqua, la costante k si misura in grammi per litro. Questo dettaglio impedisce di scambiare grandezze o rispondere con un numero senza significato. La stessa situazione può essere descritta al contrario con litri per grammo, ma allora si calcola x/y e si risponde a una domanda diversa. Prima di dividere, scriviamo «grammi / litri» accanto al rapporto; dopo la divisione, conserviamo l'unità g/L. Una coppia (4 L, 6 g) dà 6/4=1,5 g/L. Una seconda coppia (10 L, 15 g) dà 15/10=1,5 g/L. La coincidenza sostiene il modello nei due casi. Una tabella che mescola millilitri e litri senza conversione potrebbe mostrare numeri diversi pur descrivendo la stessa concentrazione; si uniformano le unità prima di confrontare.
Risolvere e controllare un caso guidato
Supponiamo che una miscela richieda 6 g di pigmento per 4 L e 15 g per 10 L. Primo passo: confronto i rapporti nelle stesse unità, ottenendo 1,5 g/L in entrambi. Secondo: esplicito il modello y=1,5x, dove x è il volume in litri e y la massa di pigmento in grammi. Terzo: per 14 L calcolo y=1,5×14=21 g. Il controllo inverso è 21/14=1,5 g/L. La risposta «21» senza unità sarebbe incompleta; «21 L» sarebbe errata. Inoltre l'uso a 14 L è un'estensione del rapporto osservato, quindi la risposta va presentata come conseguenza del modello. Se il pigmento ha un limite di solubilità non dichiarato, non dobbiamo inventare un dato sperimentale, ma neppure spacciare l'estrapolazione per legge fisica universale.
Aumento, affinità e proporzionalità non coincidono
Consideriamo due coppie: (2,6) e (5,12). Entrambe le coordinate crescono, ma 6/2=3 mentre 12/5=2,4. Non esiste una sola costante k che soddisfi y=kx per entrambe. Una relazione della forma y=2x+2, per esempio, è crescente ma non direttamente proporzionale: per x=0 dà y=2, non zero. In un grafico ideale la proporzionalità diretta è una retta che passa per l'origine, ma la forma del grafico non sostituisce il confronto numerico se la scala è sconosciuta o il disegno è approssimativo. La verifica dello zero ha senso quando zero di una grandezza corrisponde veramente ad assenza dell'altra. Un costo con quota fissa non è direttamente proporzionale al numero di unità anche se ogni unità aggiuntiva costa sempre la stessa cifra.
Tabelle, scale e dati che non si leggono dall'immagine
Le brocche e la mappa illustrate introducono l'idea di confrontare grandezze, ma nessuna altezza dipinta fornisce un litro esatto e nessuna lunghezza sulla mappa stabilisce una scala numerica. I dati utilizzabili compaiono nelle consegne. Se una carta dichiara 1 cm = 4 km, allora 3 cm corrispondono a 12 km e la costante è 4 km/cm. Se il rapporto non è dichiarato, misurare una riproduzione sullo schermo è inaffidabile: lo zoom cambia i centimetri visibili senza cambiare la distanza reale. Anche quando una tabella contiene due coppie con lo stesso rapporto, conviene controllarne tutte le righe. Un'unica riga discordante può segnalare un errore di misura, un cambio di condizioni o l'inadeguatezza del modello. La conclusione va limitata ai dati effettivamente controllati.
Come rispondere senza nascondere le ipotesi
Un procedimento completo specifica quali grandezze sono x e y, converte le unità, calcola almeno due rapporti, dichiara la costante e usa l'equazione soltanto se i dati sostengono il modello. Per stimare un valore nuovo, moltiplica la nuova x per k e poi controlla la nuova coppia. Se il rapporto cambia, non si forza una media per salvare la proporzionalità senza motivo. Se x=0, non si divide per zero; si controlla separatamente se y=0 è coerente con il fenomeno. In un problema di acquisti, una promozione o un costo fisso può interrompere la relazione. In una ricetta, il dosaggio può essere proporzionale entro il campo utile, ma un forno o un recipiente impongono condizioni ulteriori. Questa cautela non complica inutilmente l'aritmetica: distingue un calcolo corretto da un'affermazione troppo ampia. Alla fine la risposta deve contenere numero, unità e condizione «se il rapporto resta costante» quando si applica il modello oltre i dati forniti. La proporzionalità inversa è un altro modello e non va scambiata con quella diretta. Se un compito fisso richiede 12 ore a una persona e 6 ore a due persone identicamente efficienti, il tempo diminuisce mentre il numero di persone aumenta; nel modello ideale resta costante il prodotto, non il rapporto. Occorre comunque dichiarare che il lavoro è divisibile e che le persone lavorano alle stesse condizioni. Confrontare i due modelli rende più chiaro il criterio: nel modello diretto raddoppiare x raddoppia y; in quello inverso, alle condizioni dichiarate, raddoppiare x dimezza y. Se nessuna delle due regole descrive tutti i dati, la risposta corretta può essere «nessuno dei due modelli».
Esempio ragionato
Una miscela usa 6 g di pigmento per 4 L d'acqua e 15 g per 10 L. Verifica la proporzionalità e calcola il pigmento per 14 L se il modello continua.
- Calcolo i rapporti con la stessa unità: 6/4=1,5 g/L e 15/10=1,5 g/L.
- I due rapporti coincidono; il modello diretto ha costante 1,5 g/L nelle condizioni date.
- Per 14 L, 1,5×14=21 g; controllo che 21/14=1,5 g/L.
Servono 21 g secondo il modello, che va dichiarato come ipotesi oltre i dati misurati.
Errore da evitare
Inferire proporzionalità dal solo fatto che entrambe le grandezze aumentano.
Fonte e sequenza
- Il DM 211/2010 indica il primo biennio; la collocazione in questa classe è editoriale.
- Contesto di grandezze e scale; nessun rapporto numerico deriva dalla figura.
Prova subito
Una tabella dà (x,y)=(3 L,9 g), (5 L,15 g), (8 L,24 g). Verifica il rapporto, scrivi il modello e calcola y per 11 L se la relazione continua.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: I rapporti sono tutti 3 g/L; y=3x e per 11 L servono 33 g.
9/3=15/5=24/8=3 g/L; 3×11=33 g. L'ultimo valore dipende dall'ipotesi di continuità del modello.
Risposta: I rapporti sono tutti 3 g/L; y=3x e per 11 L servono 33 g.
9/3=15/5=24/8=3 g/L; 3×11=33 g. L'ultimo valore dipende dall'ipotesi di continuità del modello.
Una tariffa è 4 euro di quota fissa più 2 euro per ogni ora. Confronta i costi di 1 e 3 ore. Sono direttamente proporzionali alle ore?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Costano 6 e 10 euro; non sono direttamente proporzionali alle ore.
I rapporti 6/1=6 e 10/3 non coincidono; la quota fissa rende y=4+2x.
Risposta: Costano 6 e 10 euro; non sono direttamente proporzionali alle ore.
I rapporti 6/1=6 e 10/3 non coincidono; la quota fissa rende y=4+2x.
Una mappa dichiara 1 cm = 5 km. Calcola la distanza reale di 2,4 cm e indica l'unità della costante.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 12 km; la costante è 5 km/cm.
2,4 cm×5 km/cm=12 km; i centimetri si semplificano.
Risposta: 12 km; la costante è 5 km/cm.
2,4 cm×5 km/cm=12 km; i centimetri si semplificano.
Le coppie (2,8) e (6,24) sostengono y=4x. Una terza coppia misurata è (9,35). Il modello diretto descrive esattamente tutte e tre? Spiega.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No. 8/2=24/6=4, ma 35/9 non è 4.
Per x=9 il modello richiederebbe 36; il dato 35 va esaminato senza dichiarare proporzionalità esatta.
Risposta: No. 8/2=24/6=4, ma 35/9 non è 4.
Per x=9 il modello richiederebbe 36; il dato 35 va esaminato senza dichiarare proporzionalità esatta.
Un problema riporta 200 mL di soluzione per 4 campioni e chiede la quantità per 7 campioni identici. Calcola sotto ipotesi di dose costante e converti il risultato in litri.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 350 mL, cioè 0,35 L.
200/4=50 mL per campione; 50×7=350 mL; 350/1000=0,35 L.
Risposta: 350 mL, cioè 0,35 L.
200/4=50 mL per campione; 50×7=350 mL; 350/1000=0,35 L.
Allineamento curricolare e fonti
- Allegato F, primo biennio, righe HTML 1034–1071; collocazione annuale editoriale. · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Proporzionalità diretta: confrontare rapporti e unità