Triangoli: distinguere dato, proprietà e prova

L'idea centrale

Un triangolo piano ha tre lati e tre angoli interni. La somma degli angoli interni è 180° nella geometria euclidea: tracciando per un vertice una retta parallela al lato opposto, gli altri due angoli si riportano accanto al terzo formando un angolo piatto. Il disegno di carta suggerisce la figura, ma non fornisce ampiezze misurabili. Una prova deve esplicitare ipotesi e proprietà usate, non affidarsi all'apparenza.

La proprietà dipende dalla geometria dichiarata

La somma di 180° vale per gli angoli interni di un triangolo piano nella geometria euclidea. Non è una proprietà che si possa leggere con precisione da una figura disegnata a mano: il disegno illustra le relazioni, ma gli angoli numerici vengono dai dati. La dimostrazione usa una retta parallela a un lato passante per il vertice opposto. Gli angoli che si formano con i due lati del triangolo sono uguali agli altri due angoli interni per le proprietà delle parallele; insieme all'angolo nel vertice formano un angolo piatto. Perciò la somma è 180°.

Una dimostrazione collega ipotesi e conclusione. Le ipotesi sono: figura piana euclidea, triangolo non degenere e angoli interni definiti. La conclusione è una relazione generale, non un valore ricavato da una singola foto. Se conosci due angoli, il terzo è determinato sottraendone la somma da 180°. Se i due dati sommano 180° o più, non esiste un terzo angolo interno positivo: il problema, così posto, non descrive un triangolo non degenere.

Altri casi e trasferimenti

La disuguaglianza triangolare è un controllo indipendente dagli angoli: per tre lunghezze positive, ciascuna deve essere minore della somma delle altre due. Con lati 3, 4 e 8 cm non si forma un triangolo, perché 3+4<8; con 3, 4 e 5 cm sì. Se 3+4 fosse esattamente 7, i segmenti starebbero allineati e la figura sarebbe degenere, non un triangolo con area positiva. Una figura disegnata al computer può sembrare chiusa anche quando le misure dichiarate la rendono impossibile; per decidere usa i dati numerici. Il controllo delle lunghezze e quello degli angoli si completano: entrambi esaminano se i dati proposti possono descrivere la figura richiesta.

Per un triangolo isoscele, la simmetria rende uguali gli angoli alla base, ma non tutti e tre gli angoli. Se ciascun angolo alla base misura 50°, l'angolo al vertice vale 180°−2·50°=80°. Se invece il vertice misura 50°, i due angoli alla base valgono (180°−50°)/2=65°: cambiare il ruolo del dato cambia la risposta. In un triangolo equilatero tutti gli angoli sono 60°, ma questa è una condizione più forte dell'essere isoscele. Chiamare 'isoscele' un triangolo non permette di assumere che sia equilatero. Scrivi le uguaglianze fornite dalle ipotesi prima di sostituire numeri nella somma di 180°.

L'area introduce un'altra distinzione utile. Per base b e altezza relativa h, A=b·h/2; l'altezza è il segmento perpendicolare alla retta della base che passa per il vertice opposto, non necessariamente un lato del triangolo. Con base 8 cm e altezza 5 cm, A=20 cm². Se raddoppi solo la base mantenendo la stessa altezza, l'area raddoppia; se raddoppi entrambe, quadruplica. Il perimetro, invece, somma le lunghezze dei tre lati e non si ricava da base e altezza soltanto. In un triangolo ottusangolo, il piede dell'altezza può trovarsi sul prolungamento della base: il procedimento per l'area resta valido e il disegno va interpretato con questa possibilità.

Un angolo esterno fornisce un altro percorso per trovare un angolo mancante. Se in un triangolo due angoli interni non adiacenti all'esterno misurano 45° e 65°, l'esterno misura 110°. L'angolo interno adiacente vale allora 180°−110°=70°. Puoi controllare sommando gli interni: 45°+65°+70°=180°. La relazione con l'angolo esterno discende dalla somma interna e dal fatto che un angolo interno e il suo esterno adiacente formano un angolo piatto; non è una regola indipendente da applicare senza condizioni. In un disegno ruotato o capovolto, 'esterno' significa angolo formato dal prolungamento di un lato, non quello che sembra stare più in alto o a destra. Indica sempre il vertice e il lato prolungato per evitare di sommare gli angoli sbagliati.