La diagonale del quadrato e √2

L'idea centrale

La diagonale divide un quadrato di lato 1 unità in due triangoli rettangoli. I due cateti hanno entrambi lunghezza 1; la diagonale è l'ipotenusa. Il righello illustrato richiama la misura, ma la dimostrazione esatta viene dal teorema, non dai millimetri del raster.

Per affrontare «La diagonale del quadrato e √2», parto da questa domanda concreta: Identificare i cateti di un triangolo formato dalla diagonale. Il caso di riferimento è «Un quadrato ha lato 4. Trova il quadrato della diagonale.». Lo scopo del percorso è saper spiegare perché una risposta regge e quali dati non sono disponibili. La diagonale del quadrato nasce da un triangolo rettangolo con due lati uguali. Il controllo 1,41²<2<1,42² colloca la radice in un intervallo, senza trasformare un'approssimazione decimale in uguaglianza esatta. Prima di scegliere una formula, dichiara che cosa rappresentano le lettere, quali dati sono fissati e quale risultato è richiesto. Una figura può aiutare a vedere la struttura, ma il calcolo si giustifica con operazioni esplicite e con un controllo numerico o inverso. Quando il problema usa un modello, distingui la proprietà matematica dal disegno: una lunghezza o una posizione letta in pixel non è un dato. Scrivere ogni passaggio permette di trovare l'errore preciso, anziché limitarsi a confrontare il risultato finale.

Un passo in più

La diagonale nasce da un triangolo rettangolo interno al quadrato. Se il lato è l, il teorema di Pitagora dà d²=2l²; poiché una lunghezza non è negativa, d=l√2 per l≥0. Un'approssimazione decimale serve per stimare o misurare, ma non sostituisce la forma esatta. Per controllare un intervallo di √2, confronta con 2 i quadrati dei suoi estremi positivi; il disegno non decide le cifre decimali.

Ragionamento e prove

La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli congruenti. I due cateti di uno di essi sono lati del quadrato, quindi hanno entrambi lunghezza l. La relazione d²=l²+l² non nasce dalla misura dell'immagine, ma dal teorema di Pitagora applicato a quel triangolo. Scrivere d=l√2 richiede scegliere la radice non negativa, perché d è una lunghezza. La formula resta utile qualunque sia la misura del lato, purché le unità siano coerenti.

La forma esatta e una stima decimale svolgono compiti diversi. Per comunicare una misura con precisione finita può servire 1,414·l; in una dimostrazione è più sicuro conservare l√2, perché l'approssimazione introduce un errore. Per esempio, se il lato raddoppia, anche la diagonale raddoppia; il quadrato della diagonale diventa quattro volte maggiore. Questa proporzionalità si vede nella formula generale senza leggere alcun pixel o usare un righello sul disegno.

Per circoscrivere √2 fra due decimali positivi, eleva entrambi al quadrato: se il primo quadrato è minore di 2 e il secondo maggiore, la radice sta fra loro. Il procedimento funziona perché la funzione quadrato cresce per numeri non negativi. Non basta provare un decimale isolato per dichiarare il valore esatto. Una verifica utile consiste nel sostituire la lunghezza trovata in d²=2l² e controllare l'unità: se l è espressa in centimetri, d è in centimetri e d² in centimetri quadrati.

L'irrazionalità di √2 spiega perché nessuna frazione di interi ne dia il valore esatto. Una prova classica suppone √2=p/q con p e q senza fattori comuni. Elevando al quadrato si ottiene p²=2q²: p² è pari e quindi p è pari. Scrivendo p=2k segue q²=2k², perciò anche q sarebbe pari, in contraddizione con la frazione ridotta. La dimostrazione riguarda il numero √2; non dipende dalla precisione del righello o dal numero di cifre decimali calcolate.