x−3>2: il confine resta aperto

L'idea centrale

Una disequazione chiede un insieme di valori, non un numero unico. Per x−3>2, sommando 3 a entrambi i membri si ottiene x>5. La retta illustrata usa un cerchio vuoto per il confine escluso e un raggio blu verso destra per i valori maggiori; non ha numeri scritti, quindi il 5 viene dal calcolo.

Per affrontare «x−3>2: il confine resta aperto», parto da questa domanda concreta: Risolvere x−3>2 come x>5. Il caso di riferimento è «Risolvi 2x+1>7.». Lo scopo del percorso è saper spiegare perché una risposta regge e quali dati non sono disponibili. Il punto che rende vera un'uguaglianza non appartiene alla soluzione di una disuguaglianza stretta. Dopo aver risolto, prova un valore interno e quello di confine per distinguere verso e inclusione. Prima di scegliere una formula, dichiara che cosa rappresentano le lettere, quali dati sono fissati e quale risultato è richiesto. Una figura può aiutare a vedere la struttura, ma il calcolo si giustifica con operazioni esplicite e con un controllo numerico o inverso. Quando il problema usa un modello, distingui la proprietà matematica dal disegno: una lunghezza o una posizione letta in pixel non è un dato. Scrivere ogni passaggio permette di trovare l'errore preciso, anziché limitarsi a confrontare il risultato finale.

Un passo in più

Le disequazioni conservano le soluzioni se aggiungi lo stesso numero ai due membri o moltiplichi per un positivo. Se moltiplichi o dividi per un negativo, il verso cambia: per esempio −3x≥9 diventa x≤−3. Il confine appartiene all'insieme solo con ≤ o ≥. Dopo l'algebra, prova un valore interno, uno esterno e il confine; il grafico sulla retta riassume il risultato ma non lo dimostra da solo.

Ragionamento e prove

Una disequazione descrive un insieme di valori, non un unico risultato. Risolverla significa trasformarla in una condizione più leggibile che mantenga esattamente lo stesso insieme di soluzioni. Sommare la stessa quantità ai due membri conserva il verso; anche moltiplicare per un positivo lo conserva. Se invece moltiplichi o dividi per un negativo, il verso si inverte: questo segue dal fatto che la retta numerica cambia orientazione quando ogni valore è sostituito dal suo opposto.

La differenza fra > e ≥ appare sul confine. Nel primo caso il valore che rende uguali i due membri non è soluzione; nel secondo è incluso. Sulla retta si rappresenta convenzionalmente con punto vuoto o pieno, ma prima bisogna stabilirlo algebricamente. Per controllare un risultato, scegli un numero appena oltre il confine e un altro dall'altra parte e sostituiscili nella disequazione iniziale. Una singola prova favorevole non dimostra che tutto l'intervallo sia corretto, ma può scoprire un verso invertito.

Quando compaiono parentesi o frazioni, semplifica con passaggi piccoli. In 2(x−1)>4, dividere per 2 positivo e poi aggiungere 1 è diverso dal trattare erroneamente 2x−1. Se un coefficiente di x è negativo, annota esplicitamente il cambio di verso prima di scrivere l'intervallo finale. La soluzione può essere espressa in parole, con simboli o sulla retta; tutte e tre le rappresentazioni devono descrivere gli stessi numeri. Il disegno serve a comunicare, non a scegliere il confine dai pixel.

La notazione d'intervallo rende esplicito il confine: una parentesi tonda esclude l'estremo, una quadra lo include. L'insieme delle soluzioni può anche essere vuoto oppure comprendere tutti i reali, per esempio quando la variabile si elimina e rimane una proposizione sempre falsa o sempre vera. In questi casi non bisogna forzare una risposta della forma x maggiore o minore di un numero. Traduci infine la notazione in parole per verificare che verso e inclusione coincidano.