Dai dati grezzi alle frequenze assolute e relative

L'idea centrale

Una distribuzione di frequenze riassume quante volte compare ciascuna modalità di una variabile. Prima si dichiara il collettivo o elenco osservato e si scelgono modalità che non si sovrappongono; poi si conta la frequenza assoluta f_i di ogni modalità. Con N osservazioni, la frequenza relativa è f_i/N e la percentuale è 100·f_i/N. I controlli obbligatori sono Σf_i=N e Σ(f_i/N)=1, salvo arrotondamenti; le percentuali sommano al 100%. Un diagramma a barre conserva le categorie e confronta le altezze; una tabella mostra più precisamente i conteggi. Le categorie nominali come colori non hanno un ordine quantitativo: non se ne calcola la media numerica. Questa lezione precede logicamente la base S2 su media e mediana, che studia indicatori sintetici di dati numerici, non la costruzione della distribuzione. Nel visual compaiono tre gruppi separati di 2, 4 e 3 dischi: è un caso illustrativo diverso dal campione di dieci osservazioni dell'esempio, quindi nessuna risposta deve confonderli.

Ragionare e approfondire

Una lista grezza conserva ogni osservazione, ma rende difficile vedere a colpo d'occhio quali valori o categorie ricorrono più spesso. Una distribuzione di frequenze cambia la forma della presentazione senza inventare dati: raggruppa osservazioni uguali e ne registra il numero. Nell'elenco B, A, B, C, A, B, B, A, C, B ci sono dieci risposte: A compare tre volte, B cinque, C due. La tabella delle frequenze assolute deve quindi avere tre righe con conteggi 3, 5 e 2. La somma è dieci perché ogni risposta è stata collocata in una sola categoria. Se la somma fosse nove o undici, ci sarebbe un'omissione, un doppio conteggio o una categoria non definita. Il controllo del totale è parte del metodo, non un passaggio facoltativo eseguito dopo la risposta.

Prima di contare occorre chiarire la variabile e le sue modalità. Se si chiede il mezzo di trasporto scelto, le modalità possono essere A, B e C solo se sono definite come scelte alternative nel sondaggio. Una stessa risposta non deve ricadere contemporaneamente in A e B quando la tabella promette una distribuzione semplice di una scelta unica. Se invece una persona può scegliere più mezzi, la somma dei conteggi può superare il numero di persone: si tratterebbe di un'altra domanda e andrebbe dichiarata. Gli esercizi di questa lezione usano elenchi di osservazioni singole e modalità esaustive e non sovrapposte. Questa precisazione permette di interpretare correttamente N come il numero totale di osservazioni, non come il numero di categorie o di persone ipotetiche non specificate.

La frequenza assoluta risponde a 'quante volte?'; la relativa risponde a 'quale parte del totale?'. Se in otto osservazioni la modalità B compare due volte, f(B)=2 e la frequenza relativa è 2/8=1/4=0,25. Moltiplicando per cento si ottiene 25%. Scrivere 2 come frequenza relativa confonde un conteggio con una quota. Anche dividere 2 per il numero di modalità sarebbe scorretto: il denominatore è N=8. Le tre rappresentazioni 1/4, 0,25 e 25% esprimono la stessa quota su scale diverse. Quando la frazione non produce un decimale finito, come 5/12, si può conservare la frazione esatta e dichiarare l'eventuale arrotondamento. Il totale delle relative esatte deve essere uno; arrotondando ogni riga separatamente si può ottenere 0,99 o 1,01 senza che il conteggio originale sia errato.

Un dato mancante si può recuperare dal totale solo se le modalità dichiarate coprono tutto il collettivo. Se N=20 e due modalità hanno frequenze assolute 5 e 8, la terza ha 20−5−8=7, purché non esistano altre modalità. Il controllo inverso è 5+8+7=20. Se la terza fosse presentata come 'almeno 7', oppure esistesse la possibilità di risposte non classificate, non si potrebbe assegnare 7 senza ulteriori dati. Le consegne devono quindi dire che le tre modalità sono distinte ed esaustive. La stessa logica vale per le frequenze relative: se due categorie rappresentano 0,2 e 0,35 del totale e sono le uniche altre categorie, la quota mancante è 1−0,2−0,35=0,45. Non si può però trasformare questa quota in un conteggio assoluto senza conoscere N.

Per rappresentare categorie nominali come colori o mezzi scelti si usa un diagramma a barre con una barra distinta per modalità. L'altezza può indicare la frequenza assoluta o relativa, ma l'asse deve dichiarare quale delle due. Le barre non hanno bisogno di essere unite come se i nomi fossero valori continui; l'ordine delle categorie può essere scelto per chiarezza e non implica una grandezza crescente. Una tabella è spesso migliore quando servono conteggi esatti, mentre le barre facilitano il confronto delle modalità più e meno frequenti. Nel caso A=3, B=5, C=2, la barra B deve essere la più alta e C la più bassa, sia che si usino conteggi sia che si usino percentuali. Un grafico che invertisse questa relazione contraddirebbe la tabella anche se i numeri scritti accanto fossero giusti.

Non tutte le operazioni statistiche hanno senso per ogni tipo di dato. A, B e C possono essere etichette di mezzi o colori: sono categorie qualitative. Non è corretto attribuire loro i numeri 1, 2 e 3 e calcolare la media di quelle cifre come se rappresentassero una distanza misurabile. Per dati numerici, invece, la distribuzione di frequenze può essere usata per calcolare indicatori come la media e la mediana della lezione base, se si conservano i valori e i rispettivi conteggi. Questa distinzione chiarisce il rapporto tra le due lezioni: qui si organizza e si controlla la distribuzione, lì si confrontano due indicatori di posizione. Conoscere i conteggi è spesso un passaggio preliminare utile, ma la frequenza di un nome da sola non rende il nome un numero.

La figura mostra due dischi blu, quattro gialli e tre verdi: nove osservazioni visive raggruppate per colore. Permette di esercitare il primo passo, cioè contare e controllare 2+4+3=9, e potrebbe produrre quote 2/9, 4/9 e 3/9. Il caso guidato scritto è deliberatamente un altro insieme, con dieci risposte etichettate A, B e C. Mescolare i due insiemi farebbe apparire una frequenza falsa. Per questo ogni esercizio ripete i dati necessari e specifica il totale quando serve; non richiede di interpretare i colori del PNG. Nel lavoro autonomo si può adottare una routine: contare gli elementi dell'elenco, riempire la tabella, sommare le assolute, dividere ogni conteggio per N, sommare le relative e infine scegliere una rappresentazione. Una quota corretta accompagnata da un totale sbagliato segnala che il controllo non è ancora chiuso.