Dividere polinomi e interpretare il resto

L'idea centrale

Per dividere un polinomio P(x) per un polinomio non nullo D(x), si cerca Q(x) e un resto R(x) tali che P(x)=D(x)Q(x)+R(x), con grado di R minore del grado di D. Se D=x+c, il resto è una costante, anche negativa o zero. Il procedimento scritto ripete tre azioni: dividere i termini di grado maggiore, moltiplicare il divisore per il termine ottenuto e sottrarre. È importante scrivere tutti i termini in ordine decrescente, inserendo coefficienti zero per gradi mancanti quando servono. La verifica per prodotto e somma è più affidabile di una stima grafica. In un caso con divisore x−a, la sostituzione x=a in P dà il resto, perché (a−a)Q(a)=0: questa scorciatoia controlla il resto ma non sostituisce il calcolo del quoziente. Qui si lavora su divisioni semplici con divisore lineare, senza tecniche estese oltre il nucleo del primo biennio.

Ragionare e approfondire

La divisione tra polinomi riprende la logica della divisione intera: dividendo uguale divisore per quoziente più resto. Nei numeri interi, 17=5·3+2; nei polinomi, x²+5x+7=(x+2)(x+3)+1. Il resto non è un errore o un pezzo da cancellare: fa parte dell'uguaglianza che descrive esattamente il dividendo. La differenza è la condizione sul grado. Quando il divisore ha grado uno, il residuo deve avere grado inferiore a uno, quindi può essere una costante oppure zero. Un termine come 2x non può essere il resto finale di una divisione per x+1, perché è ancora divisibile nel senso dell'algoritmo. Prima di cominciare si deve anche escludere il polinomio divisore identicamente nullo: la divisione per zero non è definita. In questa unità il divisore è sempre esplicitamente non nullo.

L'ordine dei termini aiuta a vedere ciò che si può cancellare. In 2x²+7x+5, il termine guida è 2x². Per eliminarlo con x+2, si sceglie 2x perché 2x·x=2x². Ma si deve moltiplicare 2x per tutto il divisore, non soltanto per x: il prodotto è 2x²+4x. Sottraendo l'intero prodotto si ottiene 3x+5. Al secondo giro, 3x÷x dà 3 e il prodotto da sottrarre è 3x+6, lasciando −1. Le parentesi sono importanti nella sottrazione: (3x+5)−(3x+6)=−1. Se si sottrae solo il primo termine o si dimentica di cambiare il segno del 6, il resto risulta sbagliato anche quando il primo termine del quoziente era giusto.

Un termine mancante non significa che il grado sia scomparso. Per dividere x²+4 per x+1, è utile scrivere x²+0x+4. Il primo termine del quoziente è x; dopo la sottrazione di x²+x resta −x+4. Il termine successivo è −1; sottraendo −x−1 resta 5. Pertanto x²+4=(x+1)(x−1)+5. Il coefficiente zero rende visibile la colonna del termine in x ed evita di allineare male i gradi. Si può verificare rapidamente: (x+1)(x−1)=x²−1 e aggiungendo 5 si torna a x²+4. Questo caso mostra anche perché non si può dichiarare divisione esatta soltanto perché il polinomio iniziale ha pochi termini. L'esattezza dipende dal resto finale, non dall'aspetto della scrittura.

Il resto può avere segno negativo. Nell'esempio guidato si ottiene −1 e l'identità finale è (x+2)(2x+3)−1=2x²+7x+5. Cambiarlo in +1 produce 2x²+7x+7, diverso dal dividendo di due unità. Per questo la verifica dovrebbe essere un'operazione completa svolta separatamente dal calcolo in colonna. Si moltiplica il quoziente proposto per il divisore, si aggiunge il resto con il suo segno e si confrontano uno per uno i coefficienti. Se il confronto fallisce, si torna alla prima sottrazione che non coincide. Un controllo con un singolo valore di x può essere utile per trovare un errore, ma il confronto simbolico prova l'identità per tutti i valori. Nel caso di divisore lineare il resto deve restare una costante.

La sostituzione nel valore che annulla il divisore è una seconda via per il resto. Se D(x)=x−a, dall'identità P(x)=(x−a)Q(x)+R segue P(a)=R. Per x²+3x−4 diviso x−2, calcolare P(2)=4+6−4=6 mostra subito che il resto deve essere 6. Questo non fornisce da solo il quoziente; per trovarlo bisogna dividere o ricostruire il prodotto. Il criterio consente anche un controllo di esattezza: se P(a)=0, il resto della divisione per x−a è zero. Non si applica sostituendo un valore arbitrario: il valore deve annullare proprio quel divisore. Per x+2 si sceglie x=−2, non x=2. La scelta del segno merita un controllo esplicito prima della sostituzione.

La figura usa tessere per separare un insieme organizzato come prodotto da una piccola unità rimasta fuori. È una metafora visiva della struttura DQ+R, ma non contiene coefficienti negativi e non riproduce l'esempio con resto −1. L'allievo non deve leggere il segno o il valore del resto dal colore della tessera. Il valore arriva solo dal calcolo scritto. Nell'uso autonomo conviene tenere tre righe ordinate: termine del quoziente, prodotto del divisore, sottrazione del residuo. Ogni nuova riga parte dal residuo precedente e la divisione si ferma quando il residuo ha grado inferiore al divisore. Questo criterio di arresto è più preciso di 'non riesco a continuare'. Al termine, la ricostruzione P=DQ+R conferma sia il quoziente sia il resto, non soltanto uno dei due.

Si può anche partire da quoziente e resto per ricostruire il dividendo, operazione inversa alla divisione. Se il divisore è x−1, il quoziente 3x−2 e il resto 4, si calcola (x−1)(3x−2)+4=3x²−5x+6. Questa ricostruzione fa vedere perché il resto è additivo e perché il quoziente moltiplica l'intero divisore. Offre una verifica indipendente dall'algoritmo in colonna: se si divide il polinomio ricostruito per x−1, si devono ottenere proprio il quoziente e il resto dati. Cambiando soltanto il resto, cambia il termine costante del dividendo, ma non il termine di grado massimo. L'esercizio allena a leggere P=DQ+R come una relazione a quattro elementi, non come una procedura da eseguire in una sola direzione.