Quando una grandezza raddoppia e l'altra si dimezza

L'idea centrale

Due grandezze positive sono inversamente proporzionali se il loro prodotto resta costante: xy=k, dunque y=k/x con x>0 nel contesto delle misure positive. Raddoppiare x dimezza y; triplicare x la riduce a un terzo. Una tabella non va giudicata dall'apparenza decrescente: bisogna verificare che ogni prodotto x·y sia lo stesso. Nel piano cartesiano, y=k/x per k>0 ha nel primo quadrante un ramo che si avvicina agli assi senza toccarli; x=0 non è ammesso perché la divisione per zero non esiste. In un modello di lavoro, k rappresenta la quantità complessiva di lavoro e la relazione vale solo se i lavoratori hanno uguale produttività, lavorano contemporaneamente e non vi sono tempi fissi; queste condizioni non sono automaticamente vere nella realtà. Per aree rettangolari costanti, base e altezza possono offrire un modello geometrico esatto con le stesse unità appropriate. La figura mostra due rettangoli fatti di dodici quadratini uguali: 3×4 e 2×6; i numeri dell'esempio di lavoro restano indipendenti dal disegno.

Ragionare e approfondire

Una relazione tra due grandezze si descrive meglio indicando che cosa resta invariato. Nella proporzionalità diretta è costante il rapporto y/x; nella proporzionalità inversa è costante il prodotto xy. Se un rettangolo ha area 12 cm², base 3 cm e altezza 4 cm formano una coppia possibile; anche base 6 cm e altezza 2 cm lo sono. I due prodotti sono 12 cm². Se la base passa da 3 a 6, si moltiplica per 2, mentre l'altezza passa da 4 a 2 e si divide per 2. Non basta dire che una variabile cresce e l'altra scende: molte relazioni decrescenti non conservano lo stesso prodotto. La definizione offre dunque una prova numerica applicabile a una tabella e un metodo di previsione quando il modello è valido.

Per ricavare la formula si parte da xy=k. Quando x non è zero, dividendo entrambi i membri per x si ottiene y=k/x. Questa divisione spiega insieme la forma della funzione e la restrizione del dominio. In un contesto di lunghezze, tempi o conteggi positivi si usa x>0; in algebra, la formula può essere studiata anche per x negativi, ma non per x=0. Il significato di k dipende dalle unità: nell'area del rettangolo è una superficie, mentre nel modello di persone e tempo è un numero di ore-persona. Dare un numero senza unità può nascondere una conversione sbagliata. Quando si trasferisce la stessa formula tra contesti, bisogna quindi spiegare quali quantità rappresentano x, y e k, e quali valori sono fisicamente ammessi.

Per esaminare una tabella si moltiplica ogni coppia, non si guardano soltanto le differenze. Le coppie (2,9), (3,6) e (6,3) hanno prodotti 18, 18 e 18: sono compatibili con y=18/x. Le coppie (1,12), (2,7) e (3,4) descrivono valori di y che diminuiscono, ma i prodotti sono 12, 14 e 12; non esiste un unico k per tutte e tre. Anche un solo prodotto diverso basta a refutare l'ipotesi di proporzionalità inversa esatta per l'intera tabella. Se i dati provengono da misure approssimate, una leggera differenza può richiedere invece una discussione di tolleranze ed errori di misura; qui gli esercizi forniscono numeri esatti e chiedono una verifica esatta.

La formula permette di prevedere un valore dopo aver trovato k da una coppia. Se x=4 e y=15, il prodotto è 60; per x=10 la formula dà y=60/10=6. Il controllo è 10·6=60. Per trovare x quando è noto y, si usa lo stesso prodotto: se y=3 e k=24, allora x=24/3=8. Non conviene memorizzare una regola separata per ogni direzione; l'identità xy=k risolve entrambe. Un rapporto apparentemente plausibile può tradire un errore: se x cresce da 4 a 10, y deve diminuire da 15, quindi 6 ha senso e 24 no. Questo giudizio qualitativo viene prima del conto e aiuta a rilevare divisioni rovesciate. La verifica numerica finale protegge anche contro errori aritmetici semplici.

Il modello di lavoro dell'esempio guidato è intenzionalmente idealizzato. Dire che un lavoro richiede 24 ore-persona significa assumere che la quantità totale di lavoro sia fissa e che ogni persona produca allo stesso ritmo. Se sei persone lo finiscono in quattro ore, il prodotto è 24; otto persone lo finirebbero in tre ore soltanto se potessero lavorare insieme senza attese, coordinamento o tempi fissi. In un lavoro reale queste condizioni spesso non valgono. Il risultato numerico è corretto nel modello dichiarato, non è una promessa sulla durata di un'attività concreta. Una buona risposta deve quindi riportare anche l'ipotesi. Questa cautela distingue il calcolo matematico dalla scelta di un modello appropriato e prepara a leggere con senso critico grafici e previsioni.

La rappresentazione grafica aggiunge informazioni qualitative. Per k>0 e x>0, y=k/x è positiva e diminuisce al crescere di x. Quando x si avvicina a zero da valori positivi, i valori di y diventano molto grandi; quando x cresce senza limite, y si avvicina a zero ma non vi arriva per nessun x positivo finito. Per tracciare uno schizzo affidabile si calcolano coppie come (1,k), (2,k/2) e (4,k/4), poi si collega l'andamento in modo regolare senza attraversare gli assi. Non serve misurare la figura di tessere per ottenere questo grafico: quella figura mostra un caso discreto di area conservata, mentre il grafico rappresenta una funzione su un insieme continuo di valori ammessi. I due registri descrivono lo stesso principio da prospettive diverse.

Le due griglie illustrate contengono ognuna dodici quadratini uguali. Nel primo rettangolo si contano tre righe e quattro colonne; nel secondo due righe e sei colonne. Altezza e larghezza cambiano in direzioni opposte, ma il prodotto resta dodici unità quadrate. In questo caso l'immagine sostiene davvero il controllo di un'area costante, purché si contino i quadratini e si assumano della stessa area. Non fornisce però numeri relativi a lavoratori o ore: importare 3×4 o 2×6 nel problema del lavoro darebbe un referente sbagliato. Prima di risolvere ogni pratica conviene identificare il contesto e le unità dichiarate nella domanda. La formula y=k/x rimane la regola, mentre la figura aiuta a ricordare perché una variazione di una dimensione richiede la variazione opposta dell'altra.