Triangoli simili e teorema di Talete

L'idea centrale

In un triangolo ABC, se D sta sul lato AB, E sul lato AC e DE è parallelo a BC, gli angoli corrispondenti sono uguali. I triangoli ADE e ABC sono quindi simili, con corrispondenze AD↔AB, AE↔AC e DE↔BC. I rapporti AD/AB=AE/AC=DE/BC sono uguali; si usano lunghezze omogenee e positive. Per trovare un tratto rimanente, si calcola prima il lato intero: DB=AB−AD ed EC=AC−AE. Se il fattore di scala lineare è k, le aree cambiano con k², non con k. Il disegno da solo non prova il parallelismo se non è dichiarato; l'ipotesi DE∥BC viene sempre esplicitata. Senza tale ipotesi non si applica automaticamente Talete. Il metodo consente di calcolare misure indirette, ma in questa lezione i dati sono sempre forniti nel testo e non misurati sulla figura.

Ragionare e approfondire

La similitudine conserva la forma e cambia la scala. Due triangoli sono simili quando i loro angoli corrispondenti sono uguali; allora anche le lunghezze dei lati corrispondenti sono proporzionali. Non significa che ogni lato piccolo sia uguale a un lato grande, ma che lo stesso fattore moltiplicativo collega tutte le coppie corrispondenti. Nel triangolo ABC, con D su AB ed E su AC, i triangoli da confrontare sono ADE e ABC. Il vertice A corrisponde a se stesso, D a B ed E a C. Scrivere questa lista prima dei numeri evita di scambiare AD con AC o DE con AB. Se AD/AB è 2/3, anche AE/AC e DE/BC devono essere 2/3. Il rapporto piccolo/grande è inferiore a uno quando il triangolo interno è propriamente contenuto nel grande; questo controllo di plausibilità può individuare un risultato invertito.

Il ruolo della parallela è matematico, non decorativo. Con DE parallelo a BC, l'angolo in D del triangolo ADE ha la stessa ampiezza dell'angolo in B del triangolo ABC, e l'angolo in E corrisponde a quello in C. L'angolo in A è comune. Bastano due coppie di angoli uguali per il criterio di similitudine; la terza segue perché la somma degli angoli interni di ciascun triangolo è la stessa. Se il segmento DE fosse inclinato diversamente, quelle uguaglianze non sarebbero garantite. L'immagine può suggerire il parallelismo, ma nelle consegne la proprietà è dichiarata con DE∥BC. Questo separa un'ipotesi del problema da una impressione visiva. In geometria, le conclusioni dipendono dalle ipotesi esplicite: una figura accurata aiuta a orientarsi, ma non sostituisce il dato né la dimostrazione.

Le proporzioni si scrivono fra lati interi dei due triangoli simili. AD/AB=AE/AC confronta un lato del piccolo con quello corrispondente del grande; non è corretto inserire EC al posto di AC, perché EC è soltanto la parte residua del lato grande. Nel caso AD=6 cm e DB=3 cm, AB misura 9 cm: il rapporto corretto è 6/9. Se AE=8 cm, la relazione 8/AC=6/9 dà AC=12 cm. Solo alla fine si calcola EC=12−8=4 cm. Una seconda verifica è confrontare le parti corrispondenti delle due semirette: AD/DB=6/3=2 e AE/EC=8/4=2. Questa forma deriva dalla stessa configurazione, ma non va confusa con il rapporto fra i due triangoli, che resta 2/3.

Un fattore di scala può essere espresso in frazione, decimale o percentuale, purché si mantenga la direzione del confronto. Se il piccolo ha lato 12 cm e il grande il corrispondente di 20 cm, il fattore piccolo/grande è 12/20=3/5. Una base grande di 15 cm corrisponde allora a una base piccola di 15·3/5=9 cm. Invertire il rapporto a 5/3 darebbe un segmento più lungo del lato del triangolo grande, incompatibile con un segmento interno. È quindi utile fare un controllo qualitativo prima di chiudere il conto. Le unità devono essere le stesse nei rapporti: 4 cm/10 cm è adimensionale, mentre 4 cm/10 m richiede prima la conversione. Senza questa cura si può ottenere un numero formalmente calcolato ma geometricamente scorretto.

La scala delle aree è diversa da quella delle lunghezze. Se i lati corrispondenti del triangolo piccolo sono 2/3 di quelli del grande, anche base e altezza rispetto a quella base sono 2/3. L'area A=base·altezza/2 riceve quindi due fattori 2/3: il rapporto delle aree è (2/3)²=4/9. Non si usa 2/3 per l'area, e non si usa 4/9 per una lunghezza. Questo distingue due domande che possono partire dalla stessa figura. Una verifica semplice è il caso di un triangolo con lati raddoppiati: la base raddoppia e l'altezza raddoppia, dunque l'area quadruplica. Il rapporto delle aree è sempre positivo; cambiare orientamento nel foglio o ruotare una figura simile non cambia l'area.

Il teorema ha anche un converso utile. Se D ed E appartengono rispettivamente ai lati AB e AC dello stesso triangolo e dividono i lati nello stesso rapporto dall'origine A, allora DE è parallelo a BC. Per esempio AD/AB=AE/AC=2/5 consente questa conclusione, a condizione che le posizioni dei punti siano quelle dichiarate. Se si conoscessero soltanto due rapporti uguali senza sapere che i punti sono sui lati appropriati, non si potrebbe applicare automaticamente il converso nella configurazione descritta. Questo passaggio insegna a distinguere una conseguenza da una condizione sufficiente. Nel teorema diretto si parte dalla parallela e si ricava la proporzione; nel converso si parte dalla proporzione di segmenti collocati correttamente e si ricava la parallela. I due versi della frase non sono intercambiabili senza le rispettive ipotesi.

Una misura indiretta si affronta con uno schema di corrispondenze, non con il righello sul disegno. Si scrivono i nomi dei due triangoli nello stesso ordine, per esempio A-D-E e A-B-C; si allineano AD con AB, AE con AC, DE con BC. Poi si sceglie una proporzione che contiene esattamente un'incognita. Se occorre il segmento residuo, si completa il lato con una somma o una sottrazione soltanto dopo aver trovato la lunghezza intera. Il controllo finale comprende tre domande: la misura trovata è positiva? Il segmento interno è più corto del lato grande che lo contiene? I rapporti calcolati coincidono? Una risposta che supera questi controlli resta comunque dipendente dal parallelismo dichiarato. La figura di questa unità ha proprio tale funzione di orientamento, mentre numeri e unità arrivano sempre dal testo del problema.