Classe terza, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Collegare equazione e condizione geometrica di tangenza.
Prima di iniziare
- Distanza nel piano
- Equazioni di secondo grado
L'idea centrale
Una circonferenza di centro C=(a,b) e raggio r>0 raccoglie i punti P=(x,y) per cui la distanza CP è r: (x−a)²+(y−b)²=r². Nell'equazione sviluppata x²+y²+Dx+Ey+F=0, completare i quadrati permette di leggere centro (−D/2,−E/2) e r²=(D²+E²)/4−F. Prima di parlare di circonferenza reale bisogna controllare r²: se è negativo non esistono punti reali; se è zero rimane un solo punto, la circonferenza degenere. Per una tangente in un punto P della circonferenza, prima si verifica che P soddisfi l'equazione. Il vettore CP è perpendicolare alla tangente e fornisce i coefficienti della sua equazione: (x_P−a)(x−x_P)+(y_P−b)(y−y_P)=0. Questa costruzione funziona anche se la tangente non ha una pendenza finita, per esempio quando è verticale. Una retta esterna o secante si distingue sostituendola nell'equazione e contando le intersezioni reali. Nella figura il raggio e la tangente formano un angolo retto; il disegno rappresenta la relazione geometrica, non sostituisce la verifica algebrica. Il controllo del punto di tangenza evita di costruire una retta corretta nella forma ma riferita a un punto che non appartiene alla curva.
- Criterio
- Completa entrambi i quadrati, verifica il segno di r², poi sostituisci il punto dato. Per una tangente in P usa la perpendicolarità fra raggio CP e retta tangente; un'intersezione unica è controllo algebrico.
Come procedere
- Porta l'equazione nella forma canonica completando separatamente i quadrati di x e y; controlla il segno di r².
- Per una tangente in P, sostituisci P nell'equazione e ricava il vettore dal centro a P.
- Scrivi la retta con quel vettore normale e verifica che la sostituzione produca una sola intersezione.
Esempio svolto
Data x²+y²−4x+6y−12=0, trova centro e raggio, poi la tangente nel punto P=(5,1).
- Completo i quadrati: (x−2)²+(y+3)²=25, quindi C=(2,−3) e r=5.
- Verifico P sulla circonferenza: 3²+4²=25. Il raggio CP=(3,4) è normale alla tangente.
- Scrivo 3x+4y−19=0; sostituendo C+t(3,4), la retta è soddisfatta solo per t=1, cioè in P.
Centro (2,−3), raggio 5; tangente 3(x−5)+4(y−1)=0.
Errore da evitare
Scambiare il centro con i coefficienti D,E oppure dichiarare tangente una retta solo perché passa per un punto della circonferenza.
Controllo e limiti
- Il disegno è schematico: le coordinate numeriche si verificano con il calcolo.
- La ripartizione tra terza e quarta è una scelta editoriale.
Prova subito
Trova centro e raggio di x²+y²+2x−8y+8=0.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Centro (−1,4), raggio 3.
(x+1)²+(y−4)²=9 dopo il completamento dei quadrati.
Risposta: Centro (−1,4), raggio 3.
(x+1)²+(y−4)²=9 dopo il completamento dei quadrati.
La retta x=3 è tangente a x²+y²=9? Motiva.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Sì, nel punto (3,0).
Sostituendo x=3 risulta y²=0: un'unica intersezione reale.
Risposta: Sì, nel punto (3,0).
Sostituendo x=3 risulta y²=0: un'unica intersezione reale.
La relazione x²+y²+2x+2y+5=0 descrive una circonferenza reale?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No, r²=−3.
(x+1)²+(y+1)²=−3 è impossibile per coordinate reali.
Risposta: No, r²=−3.
(x+1)²+(y+1)²=−3 è impossibile per coordinate reali.
Per x²+y²−6x+4y−12=0 trova centro, raggio e il punto della circonferenza con ascissa 3 e ordinata positiva.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: C=(3,−2), r=5, P=(3,3).
Completo: (x−3)²+(y+2)²=25. Con x=3 ottengo (y+2)²=25; le ordinate sono 3 e −7, quindi scelgo 3.
Risposta: C=(3,−2), r=5, P=(3,3).
Completo: (x−3)²+(y+2)²=25. Con x=3 ottengo (y+2)²=25; le ordinate sono 3 e −7, quindi scelgo 3.
Trova la tangente a (x−1)²+(y+2)²=10 nel punto P=(2,1), dopo aver controllato che P appartenga alla circonferenza.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x+3y−5=0.
CP=(1,3) e 1²+3²=10, perciò P appartiene. La normale (1,3) dà (x−2)+3(y−1)=0.
Risposta: x+3y−5=0.
CP=(1,3) e 1²+3²=10, perciò P appartiene. La normale (1,3) dà (x−2)+3(y−1)=0.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA · DM 211/2010, Allegato F, Liceo scientifico ordinario, parte 1 · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Circonferenza analitica: centro, raggio e tangente