Crescita esponenziale e tasso costante

Regola

Con valore iniziale V₀ e tasso r per periodo, Vₙ=V₀(1+r)ⁿ. Il modello presuppone tasso invariato e periodi omogenei; fuori da queste condizioni può non descrivere il fenomeno.

Approfondimento e limiti del modello

La differenza tra due valori consecutivi dipende dal valore raggiunto: con un aumento del 10%, da 100 si guadagnano 10 unità, mentre da 110 se ne guadagnano 11. Il rapporto Vₙ₊₁/Vₙ resta 1,10; la differenza non resta 10. Questa verifica su almeno tre valori aiuta a scegliere tra modello esponenziale e lineare.

Il tasso e il periodo devono essere dichiarati insieme. Un 10% mensile applicato per due mesi produce il fattore 1,10², non un unico 20%; un dato annuale non si inserisce nella formula mensile senza una conversione motivata. Una previsione oltre l'intervallo osservato va presentata come ipotesi del modello.

Dal tasso al fattore

Un tasso percentuale descrive una variazione relativa al valore presente in quel periodo, non una quantità fissa da aggiungere al valore iniziale. Se il tasso è r=0,05, ogni passaggio conserva il 100% e aggiunge il 5% del valore appena raggiunto: il fattore è 1,05. Partendo da V₀, dopo un periodo si ottiene V₁=V₀·1,05; dopo due, V₂=V₀·1,05·1,05. La ripetizione conduce a Vₙ=V₀(1+r)ⁿ per n periodi interi non negativi. L'unità del tasso deve corrispondere all'unità del periodo: un tasso mensile applicato a n anni non può essere elevato direttamente a n senza convertire il numero dei periodi.

Distinguere modello lineare ed esponenziale

In una crescita lineare si aggiunge la stessa quantità d a ogni passo: Vₙ=V₀+nd. Le differenze tra termini consecutivi sono costanti, mentre i rapporti in genere cambiano. Nella crescita esponenziale a fattore costante accade il contrario: Vₙ₊₁/Vₙ=1+r quando i valori non sono zero, e l'aumento assoluto cresce insieme alla base su cui si calcola la percentuale. Per riconoscere un modello da una tabella, confronta prima gli intervalli temporali: devono avere la stessa durata. Poi calcola differenze e rapporti e verifica quale rimane stabile entro la precisione dei dati. Tre osservazioni arrotondate possono imitare entrambe le forme; la scelta resta un'ipotesi da controllare con nuovi dati.

Interpretare parametri e risultati

V₀ è il valore al tempo scelto come origine, non necessariamente il primo valore mai esistito del fenomeno. Il parametro r è un numero puro per periodo: il 12% si inserisce come 0,12, non come 12. Per r>0 il fattore supera uno e il modello cresce; per −1<r<0 il fattore è fra zero e uno e descrive un calo. Il caso r=0 mantiene il valore costante. Un risultato calcolato con n=3 significa tre passaggi completi dal tempo iniziale, non quattro misure perché nella tabella compaiono V₀,V₁,V₂,V₃. Se il contesto misura persone o oggetti indivisibili, la formula produce prima un valore modellistico e solo dopo si decide un arrotondamento coerente con la domanda.

Controllare le ipotesi del fenomeno

Una percentuale costante è una semplificazione. Un prezzo può cambiare politica, una popolazione può incontrare un limite di spazio e un esperimento può avere perdite non proporzionali. Prima di proiettare il modello lontano dai dati, esplicita se il fattore resta plausibile e se i periodi sono comparabili. Con un aumento del 5%, per esempio, il valore dopo due periodi non è semplicemente il 110% dell'iniziale: è il 110,25%, perché la seconda variazione si applica anche al primo aumento. Un controllo utile è ricalcolare il valore del periodo precedente dividendo per 1+r; se non si recupera V₀ nei limiti dell'arrotondamento, è probabile che siano stati sommati tassi e fattori in modo improprio.