Classe terza, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Visualizzare l'intersezione dei vincoli e i punti aperti o chiusi.
Prima di iniziare
- Disuguaglianze
- Radici e frazioni
L'idea centrale
Il dominio reale di una formula è l'insieme degli x per cui tutte le operazioni indicate sono definite nello stesso momento. Un polinomio non introduce vincoli; una frazione richiede denominatore diverso da zero; una radice quadrata reale al numeratore richiede radicando non negativo. Se la radice è al denominatore, il radicando deve essere strettamente positivo, perché la radice non può valere zero. Ogni vincolo produce un insieme e il dominio è la loro intersezione, non la loro unione. Per esempio, nella figura un vincolo ammette un estremo, un altro esclude un punto: l'intersezione conserva soltanto i valori presenti in entrambi. Bisogna distinguere parentesi quadra e tonda: la prima include l'estremo, la seconda lo esclude. Anche dopo una semplificazione algebrica si conserva il dominio della formula iniziale; cancellare un fattore comune non rende lecito il valore che annullava il denominatore. Per una funzione composta, si controlla prima che l'argomento appartenga al dominio della funzione esterna. Si può infine provare un valore interno e ogni estremo per verificare che la risposta in intervalli traduca davvero le disuguaglianze.
- Criterio
- Scrivi un vincolo per ogni operazione critica, risolvili separatamente sulla retta reale e intersecali. Dopo una eventuale semplificazione, conserva gli x esclusi prima di cancellare fattori.
Come procedere
- Elenca separatamente radicandi, denominatori e altri argomenti con il vincolo adatto a ciascuno.
- Risolvi ogni vincolo e interseca gli insiemi sulla retta reale, annotando gli estremi inclusi o esclusi.
- Verifica gli estremi e i punti eliminati nella formula originale prima di scrivere il dominio finale.
Esempio svolto
Trova il dominio reale di f(x)=√(x−1)/(x−3).
- La radice al numeratore richiede x−1≥0, quindi x≥1.
- Il denominatore richiede x−3≠0: tolgo 3 dall'intervallo trovato.
- Controllo x=1: la radice è zero ma il denominatore no; controllo x=3: il denominatore è zero e va escluso.
[1,3)∪(3,+∞).
Errore da evitare
Trasformare √A≥0 in A>0 in ogni caso, oppure cancellare (x−2) e poi includere x=2 nella funzione di partenza.
Controllo e limiti
- Il disegno non sostituisce la verifica dei vincoli nella formula originale.
- La ripartizione tra terza e quarta è una scelta editoriale.
Prova subito
Determina il dominio di 1/√(5−x).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (−∞,5).
Il radicando al denominatore deve essere positivo: 5−x>0.
Risposta: (−∞,5).
Il radicando al denominatore deve essere positivo: 5−x>0.
Trova il dominio di √(x+2)/(x−1).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: [−2,1)∪(1,+∞).
Interseco x≥−2 con x≠1.
Risposta: [−2,1)∪(1,+∞).
Interseco x≥−2 con x≠1.
Qual è il dominio di (x²−4)/(x−2), anche dopo la semplificazione?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: R escluso 2.
La formula iniziale divide per zero quando x=2; il buco resta.
Risposta: R escluso 2.
La formula iniziale divide per zero quando x=2; il buco resta.
Determina il dominio reale di √(7−2x)/(x+1).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (−∞,−1)∪(−1,7/2].
Il radicando impone x≤7/2; il denominatore esclude −1. Il valore 7/2 è ammesso perché la radice è al numeratore.
Risposta: (−∞,−1)∪(−1,7/2].
Il radicando impone x≤7/2; il denominatore esclude −1. Il valore 7/2 è ammesso perché la radice è al numeratore.
Trova il dominio di 1/√(x²−9) e spiega perché gli estremi non sono inclusi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: (−∞,−3)∪(3,+∞).
Il radicando al denominatore deve essere >0. Da (x−3)(x+3)>0 segue x<−3 oppure x>3; in ±3 il denominatore è zero.
Risposta: (−∞,−3)∪(3,+∞).
Il radicando al denominatore deve essere >0. Da (x−3)(x+3)>0 segue x<−3 oppure x>3; in ±3 il denominatore è zero.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA · DM 211/2010, Allegato F, Liceo scientifico ordinario, parte 1 · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Dominio di una funzione: intersecare i vincoli