Ellisse: semiassi e fuochi

Regola

Per x²/a²+y²/b²=1 con a>b>0, l'asse maggiore è orizzontale, i fuochi sono (±c,0) e c²=a²−b². La somma delle distanze dai fuochi è 2a.

Approfondimento e limiti del modello

Nella forma x²/a²+y²/b²=1 il denominatore maggiore identifica il semiasse maggiore. I simboli a e b indicano lunghezze positive, non i denominatori stessi: da 25 si ricava a=5. Se il termine con y ha il denominatore maggiore, i fuochi stanno sull'asse y e la formula c²=a²−b² resta valida dopo aver assegnato correttamente i semiassi.

La relazione c<a distingue l'ellisse dall'iperbole. Il punto (a,0), nel caso orizzontale, è un vertice: le distanze da (−c,0) e (c,0) sono a+c e a−c, la cui somma è 2a. Questa verifica usa la definizione focale e permette di controllare una soluzione ottenuta dall'equazione.

Un luogo geometrico, non un disegno qualsiasi

Fissati due punti F₁ e F₂, l'ellisse è l'insieme dei punti P per i quali PF₁+PF₂ resta una stessa lunghezza 2a, maggiore della distanza fra i fuochi. La definizione usa distanze euclidee, non la forma approssimativa di un ovale disegnato a mano. Per un'ellisse centrata nell'origine e con asse maggiore orizzontale, i vertici principali sono (−a,0) e (a,0), i vertici secondari sono (0,−b) e (0,b), con a>b>0. La lunghezza dell'asse maggiore è 2a e quella dell'asse minore è 2b: confondere semiasse e asse raddoppia o dimezza tutte le misure. Per verificare un punto della curva si può sostituirlo nell'equazione oppure sommare le due distanze focali; i metodi devono concordare.

Perché c²=a²−b²

I fuochi dell'ellisse orizzontale sono (−c,0) e (c,0), con 0<c<a. Considera il vertice secondario P=(0,b): per simmetria ha la stessa distanza da entrambi i fuochi. Poiché la somma deve essere 2a, ciascuna distanza vale a. Il triangolo rettangolo formato dagli spostamenti orizzontale c e verticale b dà, con Pitagora, a²=b²+c² e quindi c²=a²−b². Questo argomento chiarisce perché nell'ellisse si sottrae, mentre per l'iperbole canonica si trova una somma. Se a=b, si ottiene c=0: i fuochi coincidono al centro e la curva è una circonferenza. Non si possono scegliere a e b a caso senza rispettare l'orientamento dichiarato.

Leggere l'equazione canonica

Nella forma x²/a²+y²/b²=1 con a>b>0, il denominatore maggiore accompagna x² e segnala l'asse maggiore orizzontale. I numeri sotto i quadrati sono a² e b², non direttamente le lunghezze a e b: per x²/49+y²/25=1 i semiassi sono 7 e 5. L'equazione centrata nell'origine non rappresenta automaticamente un'ellisse traslata o ruotata; per una forma come (x−h)²/a²+(y−k)²/b²=1 occorre prima riconoscere il centro (h,k), poi traslare anche i fuochi. Se il denominatore maggiore è sotto y², l'asse maggiore e i fuochi sono verticali. L'orientamento va dedotto dall'equazione, non da un'immagine non quotata.

Eccentricità e controllo delle distanze

Il rapporto e=c/a si chiama eccentricità: per un'ellisse propria con fuochi distinti soddisfa 0<e<1. Aiuta a confrontare forme di scala diversa, ma non sostituisce a, b o l'equazione quando si chiedono lunghezze. Avvicinando b ad a, c si riduce e l'ellisse appare meno allungata; diminuendo b a parità di a, c si avvicina ad a. È un confronto qualitativo fondato su c²=a²−b², non su una misura fatta dal raster. Un punto sull'ellisse deve inoltre avere coordinate compatibili con i semiassi: |x|≤a e |y|≤b. Queste disuguaglianze sono controlli necessari, non sufficienti: un punto interno le soddisfa ma non sta necessariamente sulla curva. La sostituzione nell'equazione decide l'appartenenza.