Iperbole: differenza focale e assi

Regola

Per x²/a²−y²/b²=1, a,b>0, c²=a²+b² e i fuochi sono (±c,0). La differenza focale assoluta è 2a.

Approfondimento e limiti del modello

Nell'iperbole canonica orizzontale il segno positivo davanti a x² individua l'asse trasverso e i vertici (±a,0). Poiché c²=a²+b², il fuoco è più lontano dal centro del vertice: c>a. Copiare la sottrazione usata per l'ellisse porterebbe a un fuoco nella posizione sbagliata.

La definizione usa il valore assoluto della differenza delle due distanze, perché sui due rami cambia quale fuoco è più vicino. Nel vertice (a,0), le distanze sono c−a e c+a; la loro differenza assoluta è 2a. Un'equazione con y² positivo e x² negativo richiede invece l'asse trasverso verticale.

La differenza delle distanze

Con due fuochi fissati F₁ e F₂, l'iperbole è il luogo dei punti P per i quali |PF₁−PF₂| è una lunghezza costante 2a. Il valore assoluto è essenziale: sui due rami si inverte quale fuoco sia il più vicino, ma la figura resta la stessa. Per la disuguaglianza triangolare questa differenza non può superare la distanza 2c tra i fuochi; in un'iperbole non degenere 0<a<c. La definizione non dice che qualsiasi curva con due rami sia un'iperbole. Bisogna fissare i fuochi e verificare il vincolo metrico. Un diagramma schematico serve a immaginare i rami, ma non fornisce distanze esatte se non è quotato. La proprietà focale va letta insieme alla forma dell'equazione e ai dati dichiarati.

Leggere centro, vertici e fuochi

Nella forma x²/a²−y²/b²=1 con a,b>0 il centro è l'origine e l'asse trasverso è orizzontale. I vertici sono (−a,0) e (a,0). I fuochi sono (−c,0) e (c,0), dove c²=a²+b²; dunque c>a. I denominatori nell'equazione sono quadrati: x²/36−y²/64=1 significa a=6 e b=8, non a=36 e b=64. Quando si scambiano x e y nella forma y²/a²−x²/b²=1, l'asse trasverso e i fuochi diventano verticali. Non basta guardare quale denominatore è maggiore, come nell'ellisse: nell'iperbole l'orientamento è dato dal termine positivo. Per una traslazione del centro si devono traslare anche vertici e fuochi; la regola centrata nell'origine non si applica senza questo passo.

Rami, dominio e asintoti

Dalla forma orizzontale si ricava x²/a²=1+y²/b²≥1. Ogni punto reale della curva soddisfa quindi |x|≥a: la regione fra i due vertici non contiene punti dell'iperbole. Per grandi valori di |x| i rami si avvicinano alle rette y=(b/a)x e y=−(b/a)x, chiamate asintoti. Avvicinarsi non significa coincidere: sostituendo una di queste rette nell'equazione, i termini quadratici si cancellano e resta 0=1. Gli asintoti aiutano a tracciare la direzione dei rami, ma non sono soluzioni della curva. Il rapporto b/a controlla la loro pendenza; non determina da solo la posizione dei fuochi, che richiede anche la scala fissata da a.

Controlli incrociati della proprietà focale

Al vertice destro (a,0) le distanze dai fuochi sono c−a e c+a, perché c>a. La loro differenza assoluta è 2a, in accordo con la definizione. Al vertice sinistro cambia quale fuoco sia vicino, ma il valore assoluto produce ancora 2a. Per un punto non vertice conviene prima verificare l'equazione, poi eventualmente calcolare le distanze: questo doppio controllo distingue un errore di segno da un errore di radice. La relazione c²=a²+b² è diversa da quella ellittica c²=a²−b²; intercambiarle può dare fuochi immaginari o posizioni incompatibili con c>a. Se un risultato annuncia fuochi fra i vertici di questa forma, è già incoerente.