La parabola come luogo geometrico

Regola

Con F=(0,p) e direttrice y=−p, la condizione PF=dist(P,d) porta a x²=4py; p≠0. Vertice V=(0,0) e asse x=0.

Approfondimento e limiti del modello

La distanza di P=(x,y) dal fuoco (0,p) è √[x²+(y−p)²]; la distanza dalla retta orizzontale y=−p è |y+p|. Eguagliando i quadrati si cancellano y² e p² e rimane x²=4py. L'algebra deriva quindi dalla definizione geometrica, non da una formula ricordata isolatamente.

Il segno di p decide il verso dell'apertura: se p<0 i punti della parabola canonica hanno y≤0. La formula non si applica senza modifiche a un fuoco traslato o a una direttrice verticale. In quel caso conviene prima scrivere le distanze nei dati del problema e solo dopo semplificare.

Definizione mediante due distanze

La parabola è il luogo dei punti P che hanno la stessa distanza da un punto fisso F, il fuoco, e da una retta fissa d, la direttrice. La distanza da una retta è quella del segmento perpendicolare più corto, non la distanza da un punto scelto a piacere sulla retta. Nel modello F=(0,p), d: y=−p, con p diverso da zero, il fuoco e la direttrice stanno a distanze uguali dal vertice V=(0,0), su lati opposti. Il segno di p orienta la figura: p>0 apre verso l'alto, p<0 verso il basso. Questa geometria non viene ricavata contando pixel nell'illustrazione; i valori di p e le coordinate utilizzabili sono solo quelli dichiarati nel problema.

Dalla definizione all'equazione

Per P=(x,y), la distanza dal fuoco è √[x²+(y−p)²]. La distanza dalla direttrice orizzontale è |y+p|. Imporre l'uguaglianza e poi elevare al quadrato dà x²+(y−p)²=(y+p)²; sviluppando e cancellando i termini comuni resta x²=4py. La forma ottenuta non è una formula da applicare a un fuoco arbitrario: presuppone vertice nell'origine, asse verticale e direttrice y=−p. Dalla forma x²=ky con k diverso da zero si legge p=k/4, non p=k. Il fattore quattro rappresenta il rapporto fra parametro focale e coefficiente dell'equazione. Un controllo rapido consiste nel sostituire il vertice: 0=0 deve risultare vero.

Traslare senza cambiare la forma

Se il vertice è V=(h,k), si usano coordinate relative X=x−h e Y=y−k. La forma verticale diventa (x−h)²=4p(y−k), il fuoco è (h,k+p) e la direttrice è y=k−p. Tutte e tre le informazioni devono spostarsi insieme: traslare soltanto il vertice ma lasciare il fuoco nell'origine produce un'altra curva. L'asse di simmetria è x=h. Una parabola con asse orizzontale usa invece (y−k)²=4p(x−h), con fuoco (h+p,k) e direttrice x=h−p; non si ottiene scambiando solo una lettera nella risposta finale. Prima di applicare una regola, identifica quale variabile è al quadrato e quale direzione è lineare.

Appartenenza e interpretazione

Per sapere se un punto appartiene alla parabola, sostituisci entrambe le coordinate nell'equazione e confronta i due membri esattamente. Un punto vicino al tratto disegnato può non appartenere, soprattutto se il diagramma è schematico o senza scala. In x²=4py con p>0, y non può essere negativo perché x²≥0; con p<0, y non può essere positivo. Questo controllo di segno elimina errori evidenti, ma non dimostra da solo l'appartenenza. Se un punto soddisfa l'equazione, si può tornare alla definizione e calcolare le due distanze per conferma. La verifica con le distanze è particolarmente istruttiva quando p è negativo: il segno orienta fuoco e direttrice, mentre ogni distanza resta non negativa.