Probabilità: conteggio di estrazioni semplici

Regola

P(A)=|A|/|Ω| se tutti gli esiti elementari sono equiprobabili. In estrazioni senza reinserimento lo spazio cambia al secondo prelievo; dichiarare sempre la procedura.

Approfondimento e limiti del modello

Prima di contare, fissa l'esito elementare: un disco singolo, una coppia ordinata di estrazioni o una coppia non ordinata non producono automaticamente lo stesso spazio campionario. Nell'urna con 3 rossi e 2 blu, il rapporto 3/5 vale per una singola estrazione casuale in cui ogni disco è equiprobabile, non perché esistano due colori.

Senza reinserimento, dopo un primo disco rosso restano quattro dischi: due rossi e due blu. La probabilità del secondo rosso, condizionata al primo rosso, è 2/4. Con reinserimento sarebbe ancora 3/5. La differenza deriva dalla procedura; scriverla accanto al risultato impedisce di usare un denominatore sbagliato.

Costruire lo spazio degli esiti

Una probabilità non nasce dal numero di parole con cui descriviamo i risultati. Se l'urna contiene due dischi rossi R₁ e R₂ e tre blu B₁, B₂, B₃, i cinque dischi fisici sono cinque esiti elementari della prima estrazione. L'evento «rosso» raccoglie R₁ e R₂; l'evento «blu» gli altri tre. La scelta casuale uniforme dei dischi giustifica 2/5 e 3/5. Raggruppare i dischi in due colori non rende i colori equiprobabili.

Quando gli esiti elementari non sono equiprobabili, il conteggio favorevoli/totali può ingannare. Per un dado alterato, conoscere che tre facce sono pari non basta per assegnare probabilità 1/2 all'evento pari. Occorrono i pesi delle facce oppure dati sperimentali con la cautela necessaria. La formula di Laplace è quindi una conseguenza delle ipotesi, non una definizione applicabile a qualunque esperimento.

Eventi, complemento e controllo

Il complemento di A contiene tutti gli esiti dello spazio campionario che non appartengono ad A. In una singola estrazione da 2 rossi e 3 blu, se A significa «rosso», il complemento significa «blu» e P(non A)=1−2/5=3/5. Il controllo P(A)+P(non A)=1 aiuta a intercettare errori di conteggio, purché si tratti dello stesso esperimento e del medesimo spazio di esiti.

Un evento impossibile ha probabilità zero e l'evento certo ha probabilità uno. Tutte le probabilità di eventi sono comprese nell'intervallo [0,1]. Un risultato come 6/5 segnala un errore nelle unità di conteggio o nel denominatore. Il controllo di plausibilità non sostituisce il ragionamento: due frazioni diverse possono entrambe stare tra zero e uno, ma solo quella costruita sullo spazio corretto risponde alla domanda.

Due prelievi e albero dei percorsi

Per due estrazioni senza reinserimento conviene disegnare mentalmente un albero. Il primo livello descrive il primo disco, il secondo livello descrive la composizione rimasta. Da 2R+3B, il percorso R poi B ha probabilità (2/5)·(3/4)=3/10. Il prodotto usa la probabilità del secondo passo condizionata al primo; il denominatore quattro non si sceglie per abitudine, ma perché dopo il primo prelievo sono rimasti quattro dischi.

Il percorso B poi R è distinto: ha probabilità (3/5)·(2/4)=3/10. Se la domanda chiede «un rosso e un blu, in qualunque ordine», entrambi i percorsi sono favorevoli e si sommano: 3/10+3/10=3/5. Se chiede soltanto «prima rosso, poi blu», il secondo percorso non va incluso. Il testo dell'evento decide se moltiplicare lungo un ramo o sommare rami alternativi.

Confrontare reinserimento e non reinserimento

Con reinserimento il primo disco torna nell'urna prima del secondo prelievo. La composizione resta 2R+3B e il percorso R poi B ha probabilità (2/5)·(3/5)=6/25; anche B poi R vale 6/25. L'evento «un disco di ogni colore in qualunque ordine» vale quindi 12/25, diverso dal 3/5 ottenuto senza reinserimento. Il cambiamento nasce dalla procedura, non da un arrotondamento.

In questa urna e con reinserimento, il secondo colore non dipende dal primo: le probabilità dei colori restano le stesse a ogni passo. Senza reinserimento, sapere il primo colore cambia la probabilità del secondo. Questa distinzione prepara la probabilità condizionata, ma non autorizza a chiamare indipendenti tutti gli eventi che si presentano in due momenti diversi. L'indipendenza è una proprietà da verificare del modello scelto.

Contare coppie ordinate senza confonderle

Se i cinque dischi fisici sono distinguibili e non si reinserisce il primo, le coppie ordinate possibili sono 5·4=20. Il percorso R poi B comprende 2·3=6 coppie, dunque P(R poi B)=6/20=3/10, lo stesso valore ottenuto con l'albero. Le coppie B poi R sono altre sei: la somma 12/20=3/5 riguarda i due ordini. Due metodi coerenti devono produrre la stessa frazione.

Se invece registri solo la coppia non ordinata, il totale è 5·4/2=10. Le coppie miste sono 2·3=6, quindi 6/10=3/5. Non è lecito usare sei casi favorevoli non ordinati con venti casi possibili ordinati: numeratore e denominatore devono appartenere allo stesso spazio campionario. Questo controllo è particolarmente utile quando una soluzione mescola diagrammi ad albero e combinazioni.

Interpretare un risultato e i limiti del modello

Una probabilità di 3/5 non promette che in cinque prove usciranno esattamente tre risultati favorevoli. Descrive il peso dell'evento nel modello di estrazione; la frequenza osservata in poche prove può differire. Per confrontare la previsione con dati reali occorre specificare come si mescola l'urna, se ogni disco ha la stessa possibilità di essere estratto e se l'urna viene ripristinata fra gli esperimenti ripetuti.

Prima di consegnare una risposta, scrivi l'evento in parole, la procedura e il denominatore di ogni passo. Controlla se il valore è fra zero e uno, se un evento più restrittivo non risulta più probabile del caso che lo contiene e se un metodo alternativo conferma il risultato. L'illustrazione dei gettoni può orientare la domanda, ma i numeri e la procedura utilizzabili restano quelli dichiarati nel testo.