Progressione geometrica e ragione

Regola

aₙ=a₁q^(n−1); per q≠1, Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q). Con q=1, Sₙ=na₁. Le formule valgono per n intero positivo.

Approfondimento e limiti del modello

Il quoziente fra termini consecutivi individua la ragione q quando il denominatore non è zero. Per 81, 27, 9 la ragione è 1/3: i termini restano positivi ma decrescono. Con q negativo i segni si alternano; una progressione geometrica non significa necessariamente crescita.

La somma si ricava sottraendo Sₙ=a₁+a₁q+…+a₁qⁿ⁻¹ da qSₙ=a₁q+…+a₁qⁿ: (1−q)Sₙ=a₁(1−qⁿ). Il passaggio divide per 1−q, quindi q=1 si tratta a parte. Enumerare pochi termini è un controllo pratico del segno e dell'indice n−1.

Una regola moltiplicativa fra termini

Una progressione geometrica è una successione in cui ogni termine successivo si ottiene moltiplicando il precedente per lo stesso numero q, chiamato ragione. Se a₁ è il primo termine, a₂=a₁q, a₃=a₁q² e, contando i passaggi, aₙ=a₁q^(n−1) per n intero positivo. L'esponente n−1 conta quante moltiplicazioni separano il primo termine dal termine cercato. Quando i termini non sono zero si può verificare la ragione calcolando rapporti consecutivi; se compare uno zero, occorre usare direttamente la relazione aₙ₊₁=qaₙ, perché una divisione per zero non è definita. Tre termini iniziali coerenti con una ragione non provano che ogni termine successivo seguirà la stessa legge: la progressione è una regola dichiarata o un modello da verificare.

Segno e grandezza della ragione

Con a₁ positivo e q>1 i termini crescono. Se 0<q<1 restano positivi e diminuiscono verso zero, senza diventare negativi. Con q=1 sono costanti; con q=0 dal secondo termine in poi sono zero. Una ragione negativa alterna il segno: per esempio q=−2 produce un valore negativo dopo uno positivo, poi di nuovo positivo, con modulo crescente. È scorretto interpretare q=−2 come un tasso percentuale ordinario di crescita di una popolazione positiva. Per modellare una percentuale ripetuta, il fattore q=1+r deve essere coerente con la grandezza e con l'intervallo temporale. Il nome progressione descrive la struttura matematica; la plausibilità del fenomeno richiede un controllo separato.

Somma dei primi n termini

Sₙ=a₁+a₁q+…+a₁q^(n−1) somma esattamente n termini. Moltiplicando per q e sottraendo le due righe, quasi tutti i termini intermedi si cancellano: (1−q)Sₙ=a₁(1−qⁿ). Per q diverso da uno si ottiene Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q). La forma equivalente a₁(qⁿ−1)/(q−1) dà lo stesso risultato; scegliere una forma e mantenere coerenti i segni evita errori. Quando q=1 non si divide per zero: ogni termine vale a₁ e Sₙ=na₁. La formula funziona anche per una ragione negativa o nulla, purché si contino i termini dalla stessa posizione. Se si sommano a₂ fino ad aₙ, i termini sono n−1 e il primo della somma è a₂.

Controlli e confronto con l'aritmetica

Prima di usare una formula, scrivi i primi tre termini e controlla se il passaggio è moltiplicativo o additivo. In una progressione aritmetica la differenza aₙ₊₁−aₙ è costante; in una geometrica è costante il rapporto quando definito. Una lista come 2,4,8 può essere proseguita in molti modi senza una regola esplicita, anche se il modello geometrico q=2 è naturale. Per n piccolo la somma diretta serve a verificare la formula chiusa; per n grande la formula riduce i calcoli ma non corregge una ragione letta male. Quando i dati sono misure arrotondate, rapporti quasi uguali non sono necessariamente identici. Occorre dichiarare la tolleranza e non attribuire esattezza a un andamento sperimentale approssimato.