Progressioni aritmetiche e somma dei termini

Regola

aₙ=a₁+(n−1)d. Per n termini Sₙ=n(a₁+aₙ)/2: accoppiando primo e ultimo, ogni coppia ha la stessa somma.

Approfondimento e limiti del modello

La differenza d può essere positiva, nulla o negativa. Se è nulla, tutti i termini coincidono e la formula della somma restituisce n·a₁. Il termine n-esimo usa n−1 passi a partire da a₁: per n=1 deve restituire proprio il primo termine, condizione che smaschera l'errore di indice più comune.

Per derivare la somma, scrivi la lista una volta in avanti e una all'indietro. Ogni coppia verticale somma a₁+aₙ; le due liste contengono insieme 2Sₙ e n coppie. Da qui Sₙ=n(a₁+aₙ)/2, anche quando n è dispari o d è negativa.

Dalla differenza alla formula

Una progressione aritmetica mantiene la stessa differenza d fra termini consecutivi: aₙ₊₁−aₙ=d. Partendo da a₁, per arrivare ad aₙ si effettuano n−1 passaggi, perciò aₙ=a₁+(n−1)d. La distinzione fra indice e numero di passaggi è importante: il quinto termine dista quattro aggiunte dal primo. Se d è positivo la successione cresce, se è negativo decresce e se è zero resta costante. Non è necessario che i termini siano positivi; attraversare lo zero non interrompe la struttura. Per riconoscere una progressione da dati espliciti, calcola più differenze consecutive, non soltanto la prima. Una sequenza di tre valori può suggerire una regola, ma senza una definizione della successione non ne determina tutti i termini futuri in modo unico.

Somma per accoppiamento

Scrivi Sₙ=a₁+a₂+…+aₙ e riscrivila in ordine inverso. Sommando le due righe membro a membro, ogni coppia a₁+aₙ, a₂+aₙ₋₁ e così via vale a₁+aₙ, perché gli spostamenti di d si compensano. Le n coppie ottenute contano due volte la somma: 2Sₙ=n(a₁+aₙ), dunque Sₙ=n(a₁+aₙ)/2. La dimostrazione vale anche con n dispari; il termine centrale viene contato due volte nella somma delle due righe, come tutti gli altri. Sostituendo aₙ=a₁+(n−1)d si ottiene anche Sₙ=n[2a₁+(n−1)d]/2. Le due forme sono equivalenti; scegli quella per cui i dati disponibili riducono i passaggi e controlla quanti termini sono davvero inclusi.

Indice iniziale e dati incompleti

Il simbolo a₁ dichiara che la numerazione comincia da uno. Se un problema usa a₀, il termine al tempo n è a₀+nd: copiare a₁+(n−1)d senza cambiare indice produce uno scarto. Quando sono noti due termini lontani, per esempio a₃ e a₈, la differenza fra i loro indici è cinque, quindi d=(a₈−a₃)/5. Poi si ricava a₁ tornando indietro di due passaggi da a₃. Se si chiede una somma da a₃ ad a₈ compresi, i termini sono sei, non otto né cinque. Un modo affidabile per contarli è indice finale meno indice iniziale più uno. La media del primo e dell'ultimo termine del blocco moltiplicata per il numero dei termini restituisce la somma del blocco.

Modello lineare e limiti

Una progressione aritmetica descrive un cambiamento assoluto costante per periodi di uguale durata. In una tabella tempo-valore, il grafico dei punti discreti giace su una retta se il modello è esatto; unire i punti con una linea continua richiede una scelta ulteriore sul comportamento fra due istanti. Un aumento percentuale costante, invece, cambia l'incremento assoluto al cambiare della base e conduce a un modello moltiplicativo. Se i dati sono misurati con arrotondamento, differenze leggermente diverse possono essere compatibili con una tendenza lineare senza costituire una progressione aritmetica esatta. Indica sempre l'unità di d, per esempio euro per mese, e non prolungare una previsione oltre l'intervallo in cui il contesto la rende sensata.