Classe terza, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Legare segno e valore di seno e coseno alle coordinate.
Prima di iniziare
- Angoli e radianti
- Coordinate cartesiane
L'idea centrale
Sulla circonferenza unitaria, centrata nell'origine e di raggio 1, all'angolo θ orientato corrisponde il punto P=(cosθ,sinθ). Il coseno è quindi l'ascissa e il seno l'ordinata. L'equazione della circonferenza dà cos²θ+sin²θ=1; essa determina il valore assoluto di una coordinata quando si conosce l'altra, ma non il suo segno. Il quadrante fornisce quel dato: nel secondo seno positivo e coseno negativo; nel quarto vale il contrario. La figura mostra proprio un punto nel secondo quadrante e le due proiezioni con segni diversi. Una rotazione completa di 2π radianti riporta allo stesso punto, dunque seno e coseno sono periodici di periodo 2π. Gli angoli sugli assi richiedono attenzione perché una coordinata è zero e non appartengono all'interno di un quadrante. Prima di usare un valore dato, controlla che il suo modulo non superi 1. Dopo aver calcolato una coordinata, verifica sia l'identità dei quadrati sia il segno previsto dalla posizione del punto; la sola identità lascia aperte due possibilità.
- Criterio
- Individua il quadrante, scegli i segni, usa l'angolo di riferimento e controlla l'identità fondamentale. Se è nota una sola coordinata, il segno dell'altra richiede la posizione del punto.
Come procedere
- Colloca l'angolo o il quadrante e annota il segno di ascissa e ordinata.
- Usa cos²θ+sin²θ=1 per trovare il quadrato della coordinata ignota.
- Scegli la radice con il segno corretto e verifica che entrambe le coordinate descrivano un punto unitario.
Esempio svolto
Nel secondo quadrante sinθ=3/5. Determina cosθ.
- Uso sin²θ+cos²θ=1: cos²θ=1−9/25=16/25.
- Nel secondo quadrante l'ascissa è negativa, dunque scelgo il segno meno.
- Verifico (−4/5)²+(3/5)²=1 e confermo che l'ascissa è negativa nel secondo quadrante.
cosθ=−4/5.
Errore da evitare
Ricavare cosθ=+√(1−sin²θ) senza controllare il quadrante; la radice quadrata è positiva, ma la coordinata può essere negativa.
Controllo e limiti
- Le lunghezze disegnate non sono una misura esatta dell'angolo.
- La ripartizione tra terza e quarta è una scelta editoriale.
Prova subito
Nel quarto quadrante, cosθ=12/13. Calcola sinθ.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: −5/13.
sin²θ=25/169 e nel quarto quadrante la coordinata y è negativa.
Risposta: −5/13.
sin²θ=25/169 e nel quarto quadrante la coordinata y è negativa.
Quali sono seno e coseno di π radianti?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: sinπ=0, cosπ=−1.
Il punto sulla circonferenza unitaria è (−1,0).
Risposta: sinπ=0, cosπ=−1.
Il punto sulla circonferenza unitaria è (−1,0).
θ e θ+4π hanno lo stesso seno?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: Sì.
Due giri completi riportano allo stesso punto della circonferenza.
Risposta: Sì.
Due giri completi riportano allo stesso punto della circonferenza.
Nel terzo quadrante sinθ=−8/17. Determina cosθ e controlla l'identità fondamentale.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: cosθ=−15/17.
cos²θ=1−64/289=225/289. Nel terzo quadrante il coseno è negativo; 225/289+64/289=1.
Risposta: cosθ=−15/17.
cos²θ=1−64/289=225/289. Nel terzo quadrante il coseno è negativo; 225/289+64/289=1.
Un punto della circonferenza unitaria ha ascissa 0 e ordinata negativa. Quali sono sinθ, cosθ e un angolo in [0,2π)?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: sinθ=−1, cosθ=0, θ=3π/2.
Il punto è (0,−1), sull'asse verticale inferiore; un quarto di giro prima di 2π è 3π/2.
Risposta: sinθ=−1, cosθ=0, θ=3π/2.
Il punto è (0,−1), sull'asse verticale inferiore; un quarto di giro prima di 2π è 3π/2.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA · DM 211/2010, Allegato F, Liceo scientifico ordinario, parte 1 · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Seno e coseno sulla circonferenza goniometrica