Decadimento esponenziale e lettura del modello

Regola

Per 0<r<1, Vₙ=V₀(1−r)ⁿ. Il modello assume tasso invariato e periodi uguali; non permette valori negativi se V₀>0. Va distinto da un calo lineare che sottrae ogni volta la stessa quantità.

Approfondimento e limiti del modello

Un fattore compreso tra zero e uno conserva il segno positivo della quantità e la riduce a ogni passo. Con fattore 0,8, il calo da 100 a 80 è 20, ma da 80 a 64 è 16: la percentuale resta 20% e la differenza assoluta cambia. Nel decadimento lineare sarebbe invece costante la sottrazione.

Il valore teorico si avvicina a zero senza raggiungerlo in un numero finito di periodi quando V₀>0 e 0<r<1. Un modello applicato a oggetti indivisibili richiede una convenzione di arrotondamento; una previsione lontana nel tempo richiede anche di controllare se il tasso possa davvero restare invariato.

Perdere una percentuale del valore rimasto

Dire che una quantità diminuisce del 15% per periodo significa conservarne ogni volta l'85%, cioè moltiplicare per 0,85. Il secondo calo si calcola sul valore dopo il primo periodo, non sul valore iniziale. Se V₀ è positivo e 0<r<1, la successione Vₙ=V₀(1−r)ⁿ resta positiva per ogni n finito e diminuisce. Il fattore q=1−r deve essere compreso fra zero e uno; scrivere q=r trasforma erroneamente la quota persa nella quota conservata. La percentuale non si sottrae come numero intero: il 15% si scrive 0,15 e il valore dopo un periodo è V₀−0,15V₀=0,85V₀. Specifica sempre se il tasso è per giorno, mese o altro intervallo, perché l'esponente conta proprio tali intervalli.

Differenze assolute e confronto lineare

Il calo assoluto del periodo n+1 è rVₙ. Poiché Vₙ si riduce, anche la perdita assoluta si riduce pur mantenendo costante r. Una diminuzione lineare, invece, sottrae la stessa quantità d a ogni passaggio: Lₙ=V₀−nd. Se si sceglie d uguale al primo calo esponenziale, i due modelli coincidono dopo un periodo ma poi divergono. Prolungando il modello lineare senza limiti, si possono ottenere quantità negative; il modello esponenziale positivo non le produce. Ciò non dimostra che ogni fenomeno reale segua un esponenziale: un magazzino può arrivare esattamente a zero per un'uscita discreta, mentre la formula continua a fornire frazioni sempre più piccole. Il contesto decide quale modello sia adeguato.

Leggere una tabella e controllare il tasso

Con periodi di pari durata e valori non nulli, il rapporto Vₙ₊₁/Vₙ dovrebbe rimanere uguale a 1−r nel modello esatto. Il tasso di riduzione si recupera come r=1−Vₙ₊₁/Vₙ. Se una tabella mostra valori arrotondati, i rapporti possono differire leggermente anche quando un fattore comune li ha generati: indicare la precisione è più corretto che dichiarare una contraddizione immediata. Un controllo inverso consiste nel dividere il valore finale per (1−r)ⁿ e confrontarlo con V₀. Non usare un rapporto calcolato fra due istanti separati da più periodi come se fosse il fattore di un solo periodo: quel rapporto è una potenza del fattore, non il fattore stesso.

Interpretare limite e arrotondamento

Poiché 0<1−r<1, le potenze (1−r)ⁿ si avvicinano a zero quando n cresce, ma non sono zero per un n finito. In un problema concreto una soglia operativa può essere raggiunta molto prima: sotto un'unità, sotto una quantità misurabile o sotto un limite stabilito dalla domanda. Non confondere la soglia pratica con lo zero matematico del limite. Calcola con precisione sufficiente nei passaggi intermedi e arrotonda alla fine; arrotondare dopo ogni periodo può accumulare differenze. Se la grandezza conta pezzi indivisibili, il valore decimale è una stima modellistica e la regola di arrotondamento va esplicitata. Un tasso che cambia nel tempo richiede fattori diversi per periodo; non basta una sola potenza con r costante.