Classe quarta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Mostrare seconda soluzione e famiglia periodica.
Prima di iniziare
- Circonferenza goniometrica
- Radianti
L'idea centrale
Risolvere un'equazione goniometrica significa trovare tutti gli angoli che producono la coordinata richiesta sulla circonferenza unitaria. Per sin x=a la coordinata è verticale; per cos x=a è orizzontale. Se |a|>1 non ci sono soluzioni reali. Se −1<a<1, una retta orizzontale o verticale incontra in genere la circonferenza in due punti per giro; ai valori estremi ±1 l'incontro è uno solo. La figura mostra sin x=1/2 agli angoli 30° e 150° e la ripetizione dopo 360°. Quando il testo usa radianti, un giro è 2π e bisogna aggiungere 2kπ, k intero, a ciascuna soluzione base. Per un intervallo assegnato, genera solo gli angoli che vi rientrano e controlla se gli estremi sono inclusi. Non dividere un'equazione per sin x o cos x senza trattare separatamente il caso in cui il divisore sia zero: potresti perdere radici. Dopo aver trovato le famiglie di soluzioni, sostituisci un rappresentante di ciascuna nell'equazione iniziale e verifica di non averne contato due volte una all'estremo del giro.
- Criterio
- Controlla l'intervallo di valori della funzione, trova tutte le soluzioni in un periodo sulla circonferenza, aggiungi la periodicità e sostituisci nel testo originale.
Come procedere
- Controlla che il valore richiesto appartenga a [−1,1] e individua le intersezioni in un giro.
- Scrivi tutte le soluzioni base e aggiungi 2kπ, con k∈Z, se il dominio è l'intera retta reale.
- Se è dato un intervallo, seleziona le soluzioni ammesse e verifica gli estremi e l'equazione originale.
Esempio svolto
Risolvi sin x=1/2 per ogni x reale.
- In un giro il seno vale 1/2 agli angoli π/6 e 5π/6.
- Aggiungo a ciascun angolo tutti i giri completi 2kπ.
- Verifico sin(π/6)=sin(5π/6)=1/2 e osservo che le due famiglie restano distinte modulo 2π.
x=π/6+2kπ oppure x=5π/6+2kπ, con k∈Z.
Errore da evitare
Restituire un unico angolo quando ne esistono due nel periodo o perdere soluzioni dividendo per una funzione che può annullarsi.
Controllo e limiti
- La posizione grafica è illustrativa; i valori esatti richiedono angoli noti o calcolo.
- La ripartizione tra terza e quarta è una scelta editoriale.
Prova subito
Risolvi cos x=−1 per x reale.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x=π+2kπ, k∈Z.
Sulla circonferenza l'ascissa −1 compare una sola volta per giro.
Risposta: x=π+2kπ, k∈Z.
Sulla circonferenza l'ascissa −1 compare una sola volta per giro.
Risolvi sin x=0 in [0,2π).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x=0 o x=π.
La coordinata verticale è zero nei due punti sull'asse orizzontale.
Risposta: x=0 o x=π.
La coordinata verticale è zero nei due punti sull'asse orizzontale.
sin x=2 ha soluzioni reali?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: No.
Il seno è sempre compreso fra −1 e 1.
Risposta: No.
Il seno è sempre compreso fra −1 e 1.
Risolvi cos x=0 per ogni x reale, dando una sola famiglia non duplicata.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x=π/2+kπ, k∈Z.
Gli angoli base sono π/2 e 3π/2; differiscono di π, quindi una sola famiglia con passo π li include entrambi.
Risposta: x=π/2+kπ, k∈Z.
Gli angoli base sono π/2 e 3π/2; differiscono di π, quindi una sola famiglia con passo π li include entrambi.
Trova tutte le soluzioni di sin x=−√2/2 nell'intervallo [0,2π).
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: x=5π/4 e x=7π/4.
Il seno è negativo nei quadranti III e IV; l'angolo di riferimento è π/4 e i due valori sono nell'intervallo richiesto.
Risposta: x=5π/4 e x=7π/4.
Il seno è negativo nei quadranti III e IV; l'angolo di riferimento è π/4 e i due valori sono nell'intervallo richiesto.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA · DM 211/2010, Allegato F, Liceo scientifico ordinario, parte 1 · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Equazioni goniometriche e periodicità delle soluzioni