Proprietà dei logaritmi con condizioni di dominio

Regola

Per a>0, a≠1 e x,y>0: logₐ(xy)=logₐx+logₐy e logₐ(x/y)=logₐx−logₐy. In generale logₐ(x+y) non è la somma dei due logaritmi.

Approfondimento e limiti del modello

Per ogni argomento positivo, la proprietà del prodotto nasce da aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ. Se x=aᵐ e y=aⁿ, allora xy=aᵐ⁺ⁿ e logₐ(xy)=m+n. La proprietà del quoziente deriva allo stesso modo dalla sottrazione degli esponenti; la positività di x e y rende definite tutte le espressioni reali coinvolte.

Non esiste una legge analoga per la somma: per esempio log₂(2+4)=log₂6, mentre log₂2+log₂4=3. Un'uguaglianza occasionale per valori particolari non rende valida una trasformazione generale. Prima di separare un logaritmo, controlla base e dominio, poi verifica ricomponendo il prodotto o il quoziente.

Le ipotesi vengono prima della formula

Per lavorare nei numeri reali, la base a di logₐx deve essere positiva e diversa da uno, e l'argomento x deve essere positivo. Le stesse condizioni valgono per ogni logaritmo che compare in una trasformazione, prima e dopo il passaggio. La scrittura logₐ(xy)=logₐx+logₐy richiede x>0 e y>0 quando si usa il membro destro; il solo prodotto xy positivo non basta se entrambi i fattori sono negativi, perché i due logaritmi separati non esistono nei reali. Una formula corretta fuori dal suo dominio non è un passaggio valido. Conviene segnare accanto a ogni argomento la sua condizione di positività prima di semplificare un'espressione letterale.

Prodotto, quoziente e potenza

Se u=logₐx e v=logₐy, allora x=aᵘ e y=aᵛ. Il prodotto xy=a^(u+v), perciò logₐ(xy)=u+v. Analogamente x/y=a^(u−v), dunque logₐ(x/y)=u−v quando x,y>0. Per x>0 e un esponente reale k definito, xᵏ=(aᵘ)ᵏ=a^(ku), quindi logₐ(xᵏ)=k logₐx. Le proprietà sono conseguenze delle leggi degli esponenti e non regole di distribuzione dell'operatore su qualunque segno. In particolare non esiste una proprietà generale che trasformi logₐ(x+y) nella somma dei logaritmi. Un controllo numerico con x=y=1 mostra subito la differenza: logₐ2 non vale logₐ1+logₐ1=0.

Usare le proprietà in entrambe le direzioni

Le identità permettono di espandere un logaritmo di prodotto o di raccogliere una somma di logaritmi con la stessa base. Per esempio logₐx+logₐy può essere scritto logₐ(xy) quando x,y>0; la differenza logₐx−logₐy diventa logₐ(x/y). Se le basi sono diverse, non si possono sommare gli argomenti né fondere direttamente i simboli. Può essere utile il cambio di base logₐx=log_bx/log_ba, scegliendo b>0, b≠1 e a>0, a≠1; il denominatore non è zero proprio perché a≠1. Questo cambio rende confrontabili logaritmi espressi in basi differenti, ma introduce un quoziente ulteriore da trattare con attenzione. L'obiettivo di una trasformazione è rendere più chiaro il problema, non applicare tutte le formule disponibili.

Verifica inversa ed errori tipici

Dopo un calcolo esatto puoi tornare alla definizione: se logₐz=t, allora aᵗ deve uguagliare z. Per il logaritmo di un quoziente inferiore a uno con base a>1, il risultato è negativo; ciò non è un errore, perché una potenza negativa della base è fra zero e uno. Con base 0<a<1 l'ordine si inverte: la funzione logaritmica è decrescente e un argomento maggiore di uno dà un logaritmo negativo. Per esempio log_(1/2)2=−1, perché (1/2)^(−1)=2. Un calcolo con decimali approssimati va controllato sostituendo il valore ottenuto, non confrontando solo le prime cifre. Il dominio resta un vincolo anche quando l'espressione finale sembra algebricamente semplice.