Il logaritmo come esponente da trovare

Regola

logₐ b=x se e solo se aˣ=b, con a>0, a≠1 e b>0. Non esiste un logaritmo reale di zero o di un numero negativo.

Approfondimento e limiti del modello

La base deve essere positiva e diversa da uno perché aˣ sia una funzione reale invertibile da ℝ a (0,+∞). Per 0<a<1 il logaritmo esiste comunque: è decrescente. Per esempio log₁/₂(1/8)=3, perché (1/2)³=1/8. Non bisogna quindi imporre erroneamente a>1; la base può essere una frazione positiva.

Per risolvere logₐ b=x, trasforma nella corrispondente equazione esponenziale e verifica la potenza trovata. Se l'argomento è un'espressione, imponi prima che sia positiva: log₂(x−3)=2 richiede x>3; dalla potenza x−3=4 segue x=7, che rispetta il dominio.

Il logaritmo risponde a una domanda sugli esponenti

La scrittura logₐb=x significa precisamente aˣ=b. Nei reali occorrono a>0, a≠1 e b>0. La base uno non distingue esponenti, perché 1ˣ vale sempre uno; una base negativa non ammette tutte le potenze reali necessarie alla funzione inversa. Se a>1, aumentare x aumenta aˣ e anche logₐb cresce con b. Se 0<a<1, la potenza diminuisce al crescere dell'esponente e il logaritmo è decrescente. Il valore del logaritmo può essere negativo o zero senza problemi: logₐ1=0 per ogni base ammessa, perché a⁰=1. È l'argomento b che deve essere positivo, non il risultato x. Verificare una risposta significa elevare la base all'esponente trovato e confrontarla con l'argomento originale.

Domini prima delle trasformazioni

In un'equazione logₐg(x)=t, il dominio reale è g(x)>0. Si risolve poi g(x)=aᵗ, ma la soluzione algebrica candidata va comunque reinserita nel dominio e nell'equazione di partenza. Per log₃(2x−1)=2, la condizione è x>1/2; l'equazione esponenziale dà 2x−1=9 e x=5, che rispetta la condizione. Scrivere solo x=5 senza stabilire il dominio può funzionare in questo esempio ma lascia scoperto il procedimento generale. Se un passaggio eleva al quadrato, moltiplica per una variabile o raccoglie logaritmi, possono comparire soluzioni non ammesse. L'insieme delle soluzioni reali è sempre l'intersezione fra candidati algebrici e dominio originale.

Argomenti multipli e base comune

Una somma logₐu(x)+logₐv(x) può diventare logₐ[u(x)v(x)] solo dopo aver imposto u(x)>0 e v(x)>0. La sola positività del prodotto non basta: due fattori negativi hanno prodotto positivo ma i due logaritmi separati sono inesistenti nei reali. Se la somma vale c, la forma raccolta conduce a u(x)v(x)=aᶜ; questa equazione può avere più radici, da filtrare. Per una differenza occorre inoltre v(x)>0, non semplicemente v(x)≠0. Quando le basi sono diverse, un cambio di base può essere utile ma non permette di trattare i logaritmi come termini omogenei senza conversione. Un errore di dominio può produrre una risposta numericamente plausibile che non soddisfa il testo iniziale.

Valori esatti e approssimazioni

Se l'argomento è una potenza riconoscibile della base, il logaritmo si calcola esattamente. Per log₂8 si legge 3; per log₂(1/8) si legge −3, perché 2^(−3)=1/8. In problemi senza una potenza semplice si può lasciare il risultato in forma logaritmica o approssimarlo con uno strumento, indicando la precisione. Un decimale arrotondato non deve essere spacciato per un'uguaglianza esatta. La monotonia offre un controllo: se a>1 e a²<b<a³, allora 2<logₐb<3; se 0<a<1 occorre invertire il verso nel confronto appropriato. Tali stime aiutano a individuare segni o ordini di grandezza errati prima di accettare una soluzione.