Numeri complessi: forma algebrica e modulo

Regola

|z|=√(a²+b²); la coniugata è a−bi. Somma e prodotto seguono l'algebra ordinaria sostituendo i² con −1.

Approfondimento e limiti del modello

Nel piano complesso, sommare z₁ e z₂ significa sommare separatamente coordinate reali e immaginarie. Il modulo è una distanza: perciò è sempre non negativo e |z|=0 soltanto per z=0. La coniugazione riflette il punto rispetto all'asse reale; non cambia il modulo.

Il prodotto z·z̄=a²+b²=|z|² è reale. Questa identità permette di dividere per un complesso non nullo moltiplicando numeratore e denominatore per la coniugata del denominatore. Occorre però distinguere |z| da |z|²: per 3+4i sono rispettivamente 5 e 25.

Due coordinate in un numero

Un numero complesso in forma algebrica è z=a+bi, con a e b reali e i²=−1. La parte reale è a; la parte immaginaria è il numero reale b, non l'intero termine bi. Due complessi sono uguali quando coincidono entrambe le parti. Il piano di Argand associa z al punto (a,b): l'asse orizzontale rappresenta la parte reale e quello verticale la parte immaginaria. Questa rappresentazione rende visibile perché la somma di complessi somma separatamente le coordinate. Non ordina però tutti i complessi come i numeri reali; affermazioni generali come z>0 non hanno il significato usuale senza una convenzione specifica. La scrittura di un punto nel piano aiuta a controllare segni e quadranti, mentre i calcoli esatti restano algebrici.

Modulo come distanza e coniugato

Il modulo |z|=√(a²+b²) è la distanza del punto (a,b) dall'origine, quindi è sempre non negativo e vale zero soltanto per z=0. Cambiare il segno della parte immaginaria produce il coniugato z̄=a−bi: nel piano è una riflessione rispetto all'asse reale. Il prodotto z z̄=(a+bi)(a−bi)=a²+b²=|z|², perché i termini misti si cancellano e i²=−1. Questa identità collega algebra e geometria e offre un controllo indipendente del modulo. Se z è reale, coincide con il suo coniugato; se è puramente immaginario, il coniugato cambia il segno dell'intero numero. Il modulo di z e quello del coniugato sono uguali, poiché la riflessione non cambia la distanza dall'origine.

Operazioni senza perdere i segni

Per sommare (a+bi)+(c+di), somma le parti reali e le parti immaginarie: (a+c)+(b+d)i. Nel prodotto si applica la distributività e solo alla fine si sostituisce i² con −1: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i. Il termine reale contiene un meno perché (bi)(di)=bd i²=−bd. La divisione per un complesso non nullo si può ricondurre a parti reali moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Il denominatore diventa il suo modulo al quadrato, positivo se il divisore non è zero. È scorretto dividere separatamente parte reale e immaginaria; quella procedura non rispetta il prodotto che dovrebbe ricostruire il dividendo.

Controlli geometrici e algebrici

Dopo una somma, i vettori dei due punti devono comporsi per coordinate; dopo un prodotto, una verifica rapida consiste nel calcolare il prodotto con un secondo procedimento e confrontare entrambe le parti. Per i moduli vale |zw|=|z||w|, proprietà utile come controllo numerico, ma conoscere soltanto il modulo del prodotto non determina il suo argomento o le sue parti. Il modulo non è lineare: in generale |z+w| non è |z|+|w|. Per esempio 1 e −1 hanno moduli uno, ma la somma è zero. Un diagramma può suggerire queste differenze senza sostituire la verifica. Quando una risposta è richiesta in forma a+bi, lasciare un denominatore complesso senza razionalizzarlo può essere una forma equivalente, ma non soddisfa ancora il formato richiesto.