Classe quarta, secondaria di secondo gradoPercorso edumaterial
Che cosa imparerai
- Vedere perché il coefficiente conta sequenze con uguale k.
Prima di iniziare
- Combinazioni
- Probabilità composta
L'idea centrale
Una variabile binomiale X conta i successi in n prove con due esiti, indipendenti e con probabilità di successo p costante. Per esattamente k successi, una disposizione specifica ha probabilità p^k(1−p)^(n−k); le disposizioni possibili sono C(n,k), quindi P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k). La figura enumera gli otto esiti di tre prove e mostra i conteggi 1,3,3,1 per k=0,1,2,3. Quando p non è 1/2, le disposizioni di uno stesso k hanno comunque uguale probabilità, ma gruppi con k diversi no. Per «almeno uno» spesso conviene usare il complemento: 1−P(X=0)=1−(1−p)^n. Prima di applicare la formula occorre controllare il modello: estrazioni senza reinserimento da una piccola urna in generale cambiano p e rendono le prove dipendenti. Il coefficiente combinatorio conta soltanto posizioni dei successi, non è da solo una probabilità. Una risposta deve rimanere fra zero e uno; controlla anche i casi k=0 e k=n, nei quali il coefficiente vale 1. In un problema concreto, dichiara che cosa chiami successo prima di assegnare p e k: scambiare successo e insuccesso cambia l'evento richiesto.
- Criterio
- Verifica indipendenza, costanza di p e definizione di successo. Scegli k, calcola il coefficiente binomiale e controlla che una probabilità resti tra zero e uno.
Come procedere
- Verifica numero fisso di prove, due esiti, indipendenza e probabilità p costante.
- Identifica n e k, conta C(n,k) disposizioni e calcola la probabilità di una disposizione.
- Moltiplica i fattori, semplifica e controlla che il risultato sia compreso fra 0 e 1.
Esempio svolto
In tre lanci indipendenti di una moneta equilibrata, qual è la probabilità di due teste esatte?
- Indicando testa con T e croce con C, le disposizioni sono TTC, TCT e CTT: C(3,2)=3.
- Ogni sequenza specifica ha probabilità (1/2)³=1/8.
- Sommo le tre sequenze equiprobabili: 3·1/8=3/8; il conteggio concorda con C(3,2).
P(X=2)=3/8.
Errore da evitare
Moltiplicare la probabilità di una sequenza senza contare le disposizioni, oppure applicare il modello a estrazioni senza reinserimento.
Controllo e limiti
- I rami rappresentano prove indipendenti con p costante, non qualsiasi esperimento.
- La ripartizione tra terza e quarta è una scelta editoriale.
Prova subito
In quattro prove indipendenti con p=1/2, qual è la probabilità di esattamente una riuscita?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 1/4.
Le quattro posizioni possibili danno C(4,1)(1/2)^4=4/16.
Risposta: 1/4.
Le quattro posizioni possibili danno C(4,1)(1/2)^4=4/16.
Tre prove con p=0,2: probabilità di nessuna riuscita?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 0,512.
Ogni fallimento ha probabilità 0,8: 0,8³=0,512.
Risposta: 0,512.
Ogni fallimento ha probabilità 0,8: 0,8³=0,512.
Da un'urna senza reinserimento, p di estrarre rosso resta costante?
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: In generale no.
La composizione cambia dopo il primo prelievo, quindi il modello binomiale non si applica automaticamente.
Risposta: In generale no.
La composizione cambia dopo il primo prelievo, quindi il modello binomiale non si applica automaticamente.
In cinque prove indipendenti con p=0,4, calcola la probabilità di esattamente due successi.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 0,3456.
Le disposizioni sono C(5,2)=10. Ogni sequenza con due successi ha probabilità 0,4²·0,6³; il prodotto complessivo è 10·0,16·0,216=0,3456.
Risposta: 0,3456.
Le disposizioni sono C(5,2)=10. Ogni sequenza con due successi ha probabilità 0,4²·0,6³; il prodotto complessivo è 10·0,16·0,216=0,3456.
In quattro prove indipendenti con p=0,3, calcola la probabilità di almeno un successo.
Vedi la soluzione spiegata
Risposta: 0,7599.
Il complemento è nessun successo: 1−0,7⁴=1−0,2401=0,7599.
Risposta: 0,7599.
Il complemento è nessun successo: 1−0,7⁴=1−0,2401=0,7599.
Allineamento curricolare e fonti
- MATEMATICA · DM 211/2010, Allegato F, Liceo scientifico ordinario, parte 1 · DM 211/2010 · Allegato F · Liceo scientifico ordinario · obiettivi delle discipline
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Esercitarsi su questo: Probabilità binomiale: successi indipendenti